96.不同的二叉搜索树

描述

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例

示例 1:

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示

• 1 <= n <= 19

解题思路

动态规划

给定一个有序序列 1…n，为了构建出一棵二叉搜索树，我们可以遍历每个数字 i，将该数字作为树根，将 1⋯(i−1) 序列作为左子树，将 (i+1)⋯n 序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。

在上述构建的过程中，由于根的值不同，因此我们能保证每棵二叉搜索树是唯一的。

由此可见，原问题可以分解成规模较小的两个子问题，且子问题的解可以复用。因此，我们可以想到使用动态规划来求解本题。

算法

定义两个函数：

1. G(n): 长度为 n 的序列能构成的不同二叉搜索树的个数。
2. F(i, n): 以 i 为根、序列长度为 n 的不同二叉搜索树个数(1 ≤ i ≤ n)。

G(n) 是我们求解需要的函数。
G(n) 可以从 F(i, n) 得到，而 F(i, n) 又会递归的依赖于 G(n)。

根据前面的思路，可以得到：

对于边界情况，当序列长度为 1（只有根）或为 0 （空树）时，只有一种情况，即：
G(0) = 1, G(1) = 1

给定序列 1⋯n，我们选择数字 i 作为根，则根为 i 的所有二叉搜索树的集合是左子树集合和右子树集合的笛卡尔积，对于笛卡尔积中的每个元素，加上根节点之后形成完整的二叉搜索树，如下图所示：

因此，我们可以得到一下公式：
F(i, n) = G(i - 1) * G(n - i) (2)

将公式（1），（2）结合，可以得到 G(n) 的递归表达式：

至此，我们从小到大计算 G 函数即可，因为 G(n) 的值依赖于 G(0)⋯G(n−1)。

代码

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] G = new int[n + 1];
        G[0] = 1;
        G[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
}