1.函数最优化问题
1.1 无约束条件的最优化问题
1.2 有约束条件的最优化问题
以下约束条件中没有考虑 >0 的情况，因为可以由小于等于0反推出来。
将以上最优化问题命名为原始（最优化）问题。
凸优化问题：对于上述有约束条件的最优化问题，目标函数 f(x) 和约束函数 
都是R上连续可微的凸函数，
是R上的仿射函数（满足
）
1.3 求解最优化问题
1.4 拉格朗日函数
拉格朗日函数是将原始问题的f(x)和约束条件进行整合，
使有约束条件的最优化问题>>>>>转为>>>>>无约束条件的最优化问题。
使原始问题的一次优化问题>>>>>转为>>>>>极小极大的二次优化问题。
二次规划（quadratic programming
）
在约束最优化问题中，常利用拉格朗日对偶性（Lagrange duality）将原始问题转换为对偶问题，通过求解对偶问题得到原始问题的解。
拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）:
拉格朗日乘子向量：
拉格朗日函数的特性
极小极大
由拉格朗日函数的特性可知，当x满足原始问题约束时，
就是原始问题的f(x)，此时进行极小化就等同于对原始（最优化）问题进行极小化，解是相同的，即：
对偶问题
被称为拉格朗日函数的极大极小问题，也被称为原始问题的对偶问题。
定义
为对偶最优化问题的最优解，当 f(x)和
为凸函数，
是仿射函数时，有：
，其中的约束条件为KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件：
2.Support Vector Machine
SVM：线性的分类（二分类）算法。
基本思想：求解能够正确划分训练数据集，且几何间隔最大的分离超平面。间隔最大化，意味着以充分大的确信度对训练数据进行分类。
支持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势。
2.1 线性可分SVM
线性可分性
给定一个数据集
，如果存在某个超平面
，满足：
- 将数据集的正实例点和负实例点完全正确的划分到超平面的两侧；
- 对所有
的实例，都有
；对所有
的实例，都有
。
则称以上数据集是线性可分（linearly separable）的。
模型判别式：
，是线性的公式，本质是在高维空间找到一个超平面来分隔数据。
是法向量，决定超平面的方向，b 是位移项，决定超平面与原点距离。
【问题】通常这样用于分隔的超平面有很多，哪一个最好？
最好的超平面：
- 完美的分类正负例
- 距离最近的点越远越好（对点位置变动的容忍度大），即硬间隔越大越好。（最大间隔法）
- （根据以上两点确定的超平面，求出y=0时的w值和b值。）
几何距离和函数距离
函数距离（functional margin）可以表示分类的正确性和分类预测的确信度。
损失函数与优化
- 根据距离公式，可以将最好的超平面的定义转换为函数的最优化问题：
如果将 w 和 b 等比例缩放为 λw 和 λb，函数间隔变成 λγ’，函数间隔的改变对不等式约束没有影响，对目标函数的优化也没有影响。于是，为了方便求解，直接令 γ’ = 1，改变上述最优化问题，得到
决策超平面的标准表示：
即 在线性可分的SVM中，假设超平面可以将样本正确分类，则有当
时，
；当
时，
。进一步根据上述最优化问题，构建拉格朗日函数：
- 根据对偶函数，先求极小值
，拉格朗日函数分别对 w 和 b 求导，求出 w 和 b 各自与 α 的关系。
根据以上推导，求导得出：
- 将求导结果代入原来的函数：
- 进一步转换对偶问题的优化问题为：
- 通常使用SMO算法（序列最小最优化算法）进行求解，可以求得一组 α使得函数最优化。求解之后，α成为已知数，根据KKT条件，再求出 w，b .
模型与支持向量
将求出的w与b代入模型判别式：
根据KKT条件，
若
，则该样本不会出现在模型判别式中，对f(x)没有影响；
若
，则
，对应的样本点出现在最大间隔边界上，是支持向量。
【结论】模型判别式只与支持向量有关，大部分样本都不需要保留，保持了稀疏性；或者认为模型与所有样本相关，只不过当样本不是支持向量时，
。
2.2线性SVM
线性不可分、软间隔、损失函数
为了得到最好的分隔超平面，满足的条件有：
- （满足约束条件时）可以把正负例完美分开
- 找到间隔最大的点（函数优化问题）
对于线性不可分问题，会有噪声点，不满足线性可分SVM中的约束条件，为了放松约束条件，而引入松弛变量
。ξ代表异常点嵌入间隔面的深度,我们要在能选出符合约束条件的最好的w和b的同时,让嵌入间隔面的总深度越小越好。
当所有样本都正确分类时，间隔带称为硬间隔（hard margin），此时样本都满足约束：
当某些样本不满足约束条件
是，间隔被称为软间隔（soft margin），我们希望不满足约束条件的样本越少越好。
，当y=+1或y=-1时，正确分类情况下
，特别的，对于硬间隔的情况，
，并且乘积越大越好；错误分类的情况下，
。
SVM损失函数需要考虑到两种情况：错误分类的情况；软间隔的情况。
理想的损失函数（0/1损失函数）是希望不满足约束条件的样本越少越好：
（0/1损失函数其实只考虑了错误分类的情况。）
总体损失函数可写为：
替代损失、hinge损失
以上
是非凸、非连续的，不是连续可导的，不易求解，因此寻找其他函数来代替，称为替代损失(surrogate loss)。
另外0/1损失函数没有保证分类的足够高的确信度，于是使用0/1损失的上界—-hinge损失来构造损失函数。
其中，hinge损失（合页损失函数）：
，
我们希望硬间隔完全正确分类的情况下，损失loss=0，此时
；其他情况（包括错误分类和软间隔），随着
，损失越来越小，loss—>0。
当
时，总体损失函数为：
，
令
，有
，条件分析如下：
当
时，是软间隔情况下的取值，软间隔/硬间隔的情况同时考虑时，有：
，
总体的损失函数为：
优化目标分析
最优化问题
- 线性SVM的原始问题（凸二次规划问题）如下：
- 分类决策函数
求出原始问题的最优解，代入
，即得到分类决策函数。
分离超平面为
- 构建拉格朗日函数
- 求解
- 用SMO算法求出 α*.
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【问题】如何确定正则化常数 C 的取值？
C是一个超参数（即无法通过直接的数学计算求解的参数），可以在一个范围内为C赋n个值，分别得到n个模型，通过有效集来验证n个模型的误差，选择最好的模型所对应的C的值。
模型与支持向量
SVM模型判别式的另一种表示：
【结论】：软间隔SVM的最终模型和支持向量以及分类错误点有关，使用hinge损失函数时保持了稀疏性。
**
2.3非线性SVM
SVM升维
为了处理线性不可分问题，可以引入升维，即把原始的 x 映射到更高维度的空间：
【问题】升维之后，再做向量的内积，会出现维度爆炸。
相当于是在做特征转换（feature transformation），
即是先做特征转换再做内积，这种运算耗时而且可能会有无穷维。
【解决】引入核函数。思路：不具体计算向量的内积，而是直接定义的结果。
通过核方法，引入核函数，将线性学习器拓展为非线性学习器，将原始样本空间映射到另一个合适的特征空间。
核技巧 kernel trick
例如：
将
升维后，（假设我们知道升维后的形式）得到
，此时如果直接计算
，计算量大。
而引入核函数之后，直接转化为K(x,z)的计算，核函数和的计算是等价的。
核函数
核函数判断：
如果
和
是核函数，
- 对于任意正数
、
，线性组合
也是核函数。 - 核函数的直积
也是核函数。 - 对任意函数
，
也是核函数。
2.4 SVM算法总结
算法流程
- 选择核函数及对应的超参数；
- 选择惩罚系数C；
- 构造最优化问题；
- 利用SMO算法求出一组 α* ；
- 根据 α计算w
- 根据α*找到全部的支持向量，计算每个支持向量对应的
- 对
求均值，得到 b* - 得到判别函数和超平面。
算法优劣
【优点】：SVM使用边界点作为支持向量来找出分类界限，边界点以外的样本点如何分布对分类模型没有影响，抗数据扰动，抗噪声。
【缺点】：SVM的分类结果只有几何意义，丧失了概率意义。
必须遍历所有数据点，才知道哪个是边界点，所以数据点之间是耦合的。当数据量非常大时，对硬件要求高，因为需要所有数据点，做分布式也受限。
【参考】 1.《统计学习方法》第二版 李航著； 2.https://blog.csdn.net/u014540876/article/details/80172623 3.《PRML》 4.《机器学习》周志华 5.台湾大学李宏毅《机器学习》课程
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