1. 题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：
62. 不同路径 - 图1

  1. 输入：m = 3, n = 7
  2. 输出：28

示例 2：

  1. 输入：m = 3, n = 2
  2. 输出：3
  3. 解释：
  4. 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
  5. 1. 向右 -> 向下 -> 向下
  6. 2. 向下 -> 向下 -> 向右
  7. 3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：

  1. 输入：m = 7, n = 3
  2. 输出：28

示例 4：

  1. 输入：m = 3, n = 3
  2. 输出：6

提示：

  • 1 <= m, n <= 100
  • 题目数据保证答案小于等于 2 * 10

    2. 解题思路

    这个题目和爬楼梯问题其实是一样的思路，只不过爬楼梯问题算是一维的问题，而这个问题是一个二维的问题。看到这个问题，我们自然而然的就能想到动态规划。

每一个网格的路径数都和其上侧和左侧的路径数相关，可以得出递推方程：

  1. a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1]

首先初始化一个m * n 的二维数组，数组的所有节点值都先初始为0，由于最上边一行和最左边一列都是边界，只能有一种走法，所以初始为1。然后根据递推方程求解即可。

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(mn)，我们需要两层遍历，所以空间复杂度为O(mn)。

  • 空间复杂度：O(mn)，我们需要一个m * n 的二维数组来存储所有状态，所以所需空间复杂度为O(mn)。

    3. 代码实现

    1. /**
    2. * @param {number} m
    3. * @param {number} n
    4. * @return {number}
    5. */
    6. var uniquePaths = function(m, n) {
    7.   const dp = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0))
    9.   for(let i = 0; i < m; i++){
    10.       dp[i][0] = 1
    11.   }
    12.   for(let j = 0; j < n; j++){
    13.       dp[0][j] = 1
    14.   }
    16.   for(let i = 1; i < m; i++){ 
    17.       for(let j = 1; j < n; j++){
    18.           dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
    19.       }
    20.   }
    21.   return dp[m - 1][n - 1]
    22. };

    4. 提交结果

    image.png