1. 题目描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

  1. 输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
  2. 输出：11
  3. 解释：如下面简图所示：
  4.    2
  5.   3 4
  6.  6 5 7
  7. 4 1 8 3
  8. 自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

  1. 输入：triangle = [[-10]]
  2. 输出：-10

提示：

  • 1 <= triangle.length <= 200
  • triangle[0].length == 1
  • triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1

  • -10 <= triangle[i][j] <= 10


    进阶：

  • 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

    2. 解题思路

    这道题目和最小路径和那道题的阶梯思路类似，都是使用动态规划来解决。

这里，其实我们并不需要初始化一个数组来保存每一步的状态（每个节点的最小路径值），可以在原数组上进行操作，因为每个节点都只遍历一次，在遍历完之后，我们只需要将当前节点的状态赋值给当前节点即可。

这里同样需要处理两个边界的问题，对于第一列元素，他只能是上面的元素下来的，所以他的状态转移方程是：

  1. triangle[i][j] += triangle[i - 1][j]

对于每一行的最后一位，它只能是上一行的最后一位下来的，所以他的状态转移方程是：

  1. triangle[i][j] += triangle[i - 1][j - 1]

对于其他的元素，可以是其对应序号以及对应序号减一的元素移动下来的，所以他的状态转移方程是：

  1. triangle[i][j] += Math.min(triangle[i - 1][j], triangle[i - 1][j - 1])

最后我们只需要返回最后一行元素的最小值即可，这里我们用…扩展运算符配合Math的min方法求得最后一行的最小值。

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(n)，其中 n 是三角形的行数。

  • 空间复杂度：O(1)。这里我们在原数组的基础上进行的操作，所以所需要的额外的空间为常数。

    3. 代码实现

    1. /**
    2. * @param {number[][]} triangle
    3. * @return {number}
    4. */
    5. var minimumTotal = function(triangle) {
    6.   const n = triangle.length
    8.   for(let i = 1; i < n; i++){
    9.       for(let j = 0; j <= i; j++){
    10.           if(j === 0){
    11.               triangle[i][j] += triangle[i - 1][j]
    12.           }else if(j === i){
    13.               triangle[i][j] += triangle[i - 1][j - 1]
    14.           }else{
    15.               triangle[i][j] += Math.min(triangle[i - 1][j], triangle[i - 1][j - 1])
    16.           }
    17.       }
    18.   }
    20.   return Math.min(...triangle[n - 1])
    21. };

    4. 提交结果

    image.png