1.2.6 极值判别法

首先给出极值的定义，这里所指的是局部极值。函数在区间内有定义，该是该区间内的一个点。如果存在的一个邻域，对于该邻域内任意点都有,则称是函数的极大值。如果邻域内任意点都有，则称是极小值。极大值和极小值统称为极值。
如果存在的一个邻域，对于该邻域内任意点都有,则称是函数的严格极大值。如果邻域内任意点都有，则称是严格极小值。
假设函数在点处可导，如果在点处取得极值，则必定有

这一结论被称为费马定律，它给出了可导函数取得极值的一阶必要条件，为求函数的极值提供依据。导数等于0的点称为驻点。导数为0是取得极值的必要条件而非充分条件，后文中会详细说明
下面在费马定理的基础上给出函数取极值的充分条件。假设函数在点一个邻域内可导，且有。考察在去心邻域内的导数值符号，有三种情况。
情况一：在的左侧,在右侧,则函数在取严格极大值。
情况二：在的左侧,在右侧,则函数在取严格极大值。
情况三：在的左侧右侧同号，则不是极值点。
下面利用二阶导数的信息给出函数极值的充分条件。假设为函数的驻点，且在该点处二阶可导。对于驻点处二阶导数。对于驻点处二阶导数的符号，可分为三种情况。
情况一:>0,则为函数的严格极小值点。
情况二:<0,则为函数的严格极大值点。
情况三:=0,则不定，可能是极值可能不是。需要进一步讨论。
下面对情况三进行细分，假设，且.可分为两种情况。
情况一：如果是偶数，则是极值点。当是的严格极小值点，当时的严格极值大值点。
情况二：如果是奇数，则不是的极值点。