向量的范数是向量的模(长度)这一概念的推广。向量的2.1.3 向量的范数 - 图1范数是一个标量，定义为
    2.1.3 向量的范数 - 图2
    2.1.3 向量的范数 - 图3为正整数。常用的是2.1.3 向量的范数 - 图4范数，2.1.3 向量的范数 - 图5的取值分别为1和2.2.1.3 向量的范数 - 图6范数是所有分量的绝对值之和
    2.1.3 向量的范数 - 图7
    对于向量
    2.1.3 向量的范数 - 图8
    其2.1.3 向量的范数 - 图9范数为
    2.1.3 向量的范数 - 图10
    2.1.3 向量的范数 - 图11范数也称为向量的模，即向量的长度，定义为
    2.1.3 向量的范数 - 图12
    此即欧几里得范数。2.1.3 向量的范数 - 图13范数可以简写为2.1.3 向量的范数 - 图14。长度为1的向量称为单位向量。上面这个向量的2.1.3 向量的范数 - 图15范数为
    2.1.3 向量的范数 - 图16
    2.1.3 向量的范数 - 图17范数和2.1.3 向量的范数 - 图18范数被用于构造机器学习中正则化项。
    根据范数的定义，向量数乘运算之后的范数为
    2.1.3 向量的范数 - 图19
    显然有
    2.1.3 向量的范数 - 图20
    对于非2.1.3 向量的范数 - 图21向量，通过数乘向量模的倒数，可以将向量单位化（或称为标准化），使得其长度为1
    2.1.3 向量的范数 - 图22
    对于上面的向量，单位化之后为
    2.1.3 向量的范数 - 图23
    当2.1.3 向量的范数 - 图24时，称为2.1.3 向量的范数 - 图25范数，其值为
    2.1.3 向量的范数 - 图26
    即向量分量绝对值的最大值。上面这个向量2.1.3 向量的范数 - 图27范数为
    2.1.3 向量的范数 - 图28
    2.1.3 向量的范数 - 图29范数是2.1.3 向量的范数 - 图30范数的极限
    2.1.3 向量的范数 - 图31
    如果不做特殊说明，本书后续章节的向量范数均默认2.1.3 向量的范数 - 图32范数。
    向量内积和2.1.3 向量的范数 - 图33范数满足著名的柯西-施瓦茨不等式
    2.1.3 向量的范数 - 图34
    向量内积、向量模与向量夹角之间的关系可以表述为
    2.1.3 向量的范数 - 图35
    变形后得到向量夹角计算公式
    2.1.3 向量的范数 - 图36