1.1.4 函数的连续性与间断点

函数的连续性通过极限定义，是其最基本的性质之一。函数连续性的直观表现为：如果自变量的改变很小，则因变量的改变很小，函数值不会突然发生跳跃。如果函数满足

则称它在a点连续。函数连续的几何解释是在该点处函数曲线没有’断’。关于还是的连续性有如下重要的结论。

1. 基本初等函数在其定义域内D都是连续的，包括多项式函数、有理分式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
2. 绝对值函数在其定义域内是连续的。
3. 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合而形成的函数在其定义域内连续，这样的函数称为初等函数
4. 如果函数和在定义域内连续则复合函数在定义域内连续。

如果函数在点处不连续，则称该点为间断点，间断点分为以下几种情况

1. 情况一函数在点处左极限和右极限都存在，但不相等

或者左右极限相等但不等于该点的函数值

1. 情况二函数在点处左极限和右极限至少有一个不存在

连续函数具有很多优良的性质。闭区间上的连续函数一定存在极大值和极小值，使得对于该区间内任意的有

开区间上的连续函数则不能保证存在极大值与极小值。它在内连续，但在该区间内不存在极大值。

如果函数在闭区间内连续，c是介于和之间的一个数，则存在中某个点，使得。这一结论称为介值定理。