数列的极限（Limit）反应了当数列元素下标趋向于
时数列项取值的趋势，下面给出严格的定义。对于数列
以及某一实数
,如果对于任意给定的
都存在正整数
,使得对于任意满足
的
都有下面不等式成立
则称此数列的极限为
,或称其收敛于
。数列的极限记为
数列极限的直观的解释是当
增加时数列的值
无限接近于
，可接近到任意指定的程度，由 
控制。如果数列极限不存在，则称数列是发散的。如果数列的极限存在，则其值必定是唯一的。
证明极限存在而且为某一值的方法是证明式（1.2）成立。下面举例说明。证明下面的极限成立
任意给定
，如果令
([x]表示向上去整x)，则当
时，有
,因此该数列的极限为0.同样可以证明
并非所有数列都存在极限。考虑数列
,当
时，该数列的值在-1与1之间振荡极限不存在。对数列
,当
时，数列的值趋于
,极限也不存在。
如果
、
,数列极限的四则运算满足下面等式
<br />计算下面的极限<br /><br />下面给出极限存在的判定法则。首先定义上界与下界的概念。对于数列,如果它的任意元素都满足<br /><br />则称为数列的上界。需要强调的是上界不唯一。相应地，如果它的任意元素都满足<br /><br />则称为其下界<br />**_如果数列单调递增且存在上界，则极限存在；如果数列单调递减并且有下界，则极限存在。合并之后为：单调有界的数列收敛。_**此结论称为单调收敛定理。根据单调收敛定理可以得到微积分中的一个重要极限，对于数列<br /><br />其极限为<br /><br />下面介绍数列极限存在的第二种判别方法。如果对于且,则。则一结论称为夹逼定理。
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