1.1.3 函数的极限

函数的极限的严格定义由法国数学家柯西给出的，即当前广泛使用的定义。首先定义邻域的概念。点的邻域是指满足不等式

的所有构成的集合，即区间

下面借助去心邻域给出函数极限的概念。对于函数,如果任意,均存在的去心邻域，使得心邻域内所有都有

则称函数在点处的极限为。函数在点处的极限记为

函数极限的直观解释是当自变量的值无限接近时，函数值无限接近于,即在内的函数值都在区间内。接近程度由控制。

一维数轴上有两个方向，变量可以左趋向于,因此函数的极限可以分为左极限和右极限。左极限是自变量从左侧趋于的极限值,右极限是自变量从右趋于的极限值。左右极限分别记为

函数在某一点的左右极限可能均不存在，即使存在，二者也可能不相等。函数在某一点÷极限存在的条件是在该点处的左右极限均存在并且相等。