1.1.1 可数集与不可数集

集合A的元素数量称为其基数或者势，记为|A|。在这里复用了绝对值符号。对于下面的集合

其基数为|A|=4。基数为有限值的集合称为有限集；基数为无限值的集合称为无限集，是本节重点分析的对象。对于两个有限集，如果集合A是集合B的真子集，即,则有

无限集的基数为,因此不能直接使用这种规则进行基数的比较。考虑正整数集,令集合为所有的正奇数组成的集合，集合为所有正偶数组成的集合。由于一个正整数不是奇数就是偶数，而且两个集合均不是空集，因此



这是否意味着,答案是否定的。下面从另外一个角度来考虑这个问题。对于集合中的任意元素,都有中的元素与与之对应，反过来中的每个元素也有中的唯一元素与之对应。从这个角度来说，两个集合的元素数量是“相等的”。显然，这一规则对于有限集也是适用的。
下面给出两个集合基数相等的定义。对于集合和,如果集合中的任意元素a,在集合中都有唯一的元素b通过某种映射关系与之对应，即存在如下的双射函数（单射：一一对应,满射：每个Y对应一个x）

则称这两个集合的基数相等，根据(1.1)定义，正整数集与正偶数集的基相等，因为它们中的元素之间存在如下的双射关系

同样地，集合和集合的基数也相等。因为

借助式(1.1)所定义的集合基数相等的概念，无限集可进一步分为可数集与不可数集。可数集中的每个元素可以用正整数进行编号，即与正整数集等势。
正偶数集是可数集，它的每个元素可以写成

下面给出可数集的严格定义。如果存在从正整数集到集合的双射关系

则集合A是可数的。整数集是可数的，对于所有整数

可以按照下面的形式（按绝对值）对其进行排列

有理数集也是可数集。所有的有理数都可以写成两个整数相除的形式

无理数则是不能表示成如上两个整数比值的数，如,以及后面要介绍的自然对数底,都是无理数。
实数集或长度不为0的实数区间都是不可数的，其中的元素是连续的。任意长度不为0的实数区间，中的所有的数都是属于实数集，因此它们在数轴上是稠密或者说连续的。