AdaBoost

AdaBoost算法

算法步骤

假设给定一个二分类的训练数据集其中，每个样本点由实例与标记组成。实例，标记，是实例空间，是标记集合。AdaBoost利用以下算法，从训练数据中学习一系列弱分类器或基本分类器，并将这些若分类器线性组合成为一个强分类器。

输入：训练数据集，其中，标记，弱学习算法；

输出：最终分类器

（1）初始化训练数据的权值分布

（2）对

• （a）使用具有权值分布的训练数据集学习，得到基本分类器
• 
• （b）计算在训练数据上的分类误差率
• 
• （c）计算的系数
• 
• （d）更新训练数据集的权值分布
• 
• 
• 

（3）构建基本分类器的线性组合，得到最终分类器

步骤说明

步骤（1）：假设训练数据集具有均匀的权值分布，即每个训练样本在基本分类器的学习中作用相同，这一假设保证第1步能够在原始数据上学习基本分类器

步骤（2）：AdaBoost反复学习基本分类器，在每一轮顺次地执行下列操作

• （a）使用当前分布加权的训练数据集，学习基本分类器
• （b）计算基本分类器在加权训练数据集上的分类误差率：
• 
• 表示第轮中第个实例的权值，。这表明，在加权的训练数据集上的分类误差率是被误分类样本的权值之和，由此可以看出数据权值分布与基本分类器的分类误差率的关系。
• （c）计算基本分类器的系数。表示在最终分类器中的重要性。由可知，当时，，并且随着的减小而增大，所以分类误差率越小的基本分类器在最终分类器中的作用越大。
• （d）更新训练数据的权值分布为下一轮作准备。
• 可写为
• 
• 由此可知，被基本分类器误分类样本的权值得以扩大，而被正确分类的样本的权值却得以缩小。两相比较，由知误分类样本的权值被放大倍。因此，误分类样本在下一轮学习中起更大的作用。不改变所给的训练数据，而不断改变训练数据权值的分布，使得训练数据在基本分类器的学习中起不同的作用，这就是AdaBoost的一个特点

步骤（3）：线性组合实现个基本分类器的加权表决。系数表示了基本分类器的重要性，这里，所有之和并不为。的符号决定实例的类，的绝对值表示分类的确信度。利用基本分类的线性组合构建最终分类器是AdaBoost的另一特点。

例子

步骤（1）：初始化数据权值分布

步骤（2）：

对：

• （a）在权值分布为的训练数据上，阈值取时分类误差率最低，故基本分类器为
• 
• （b）在训练数据集上的误差率(6,7,8样本错分，权值均为1)
• （c）计算的系数
• （d）更新训练数据的权值分布
• 
• 
• 
• 
• 分类器在训练数据集上有个误分类点。

对：

• （a）在权值分布为的训练数据上，阈值取时分类误差率最低，故基本分类器为
• 
• （b）在训练数据集上的误差率(4,5,6样本错分，权值均为0.07143)
• （c）计算的系数
• （d）更新训练数据的权值分布
• 
• 
• 分类器在训练数据集上有个误分类点。

对：

• （a）在权值分布为的训练数据上，阈值取时分类误差率最低，故基本分类器为
• 
• （b）在训练数据集上的误差率(4-9样本错分，权值见)
• （c）计算的系数
• （d）更新训练数据的权值分布
• 
• 
• 分类器在训练数据集上有个误分类点。

步骤（3）：于是最终分类器为

AdaBoost训练误差分析

AdaBoost最基本的性质是它能在学习过程中不断减少训练误差，即在训练数据集上的分类学习误差率。关于这个问题有下面的定理：

AdaBoost的训练误差界：AdaBoost算法最终分类器的训练误差界为

其中，，，

证明如下：

（1）当时，不等式左边每个误分权值为，不等式右边因为，所以每个误分权值，所以不等式得证

（2）证等式部分

由和代入移项得到，代入需要证明式子得

这一定理说明，可以在每一轮选取适当的使得最小，从而使训练误差下降最快。

Code实现

数据

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection  import train_test_split
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
# data
def create_data():
    iris = load_iris()
    df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
    df['label'] = iris.target
    df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
    data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
    for i in range(len(data)):
        if data[i,-1] == 0:
            data[i,-1] = -1
    # print(data)
    return data[:,:2], data[:,-1]
X, y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)
plt.scatter(X[:50,0],X[:50,1], label='0')
plt.scatter(X[50:,0],X[50:,1], label='1')
plt.legend()

手写实现

class AdaBoost:
    def __init__(self, n_estimators=50, learning_rate=1.0):
        self.clf_num = n_estimators
        self.learning_rate = learning_rate
    def init_args(self, datasets, labels):
        self.X = datasets
        self.Y = labels
        self.M, self.N = datasets.shape
        # 弱分类器数目和集合
        self.clf_sets = []
        # 初始化weights
        self.weights = [1.0/self.M]*self.M
        # G(x)系数 alpha
        self.alpha = []
    def _G(self, features, labels, weights):
        m = len(features)
        error = 100000.0 # 无穷大
        best_v = 0.0
        # 单维features
        features_min = min(features)
        features_max = max(features)
        n_step = (features_max - features_min + self.learning_rate) // self.learning_rate
        # print('n_step:{}'.format(n_step))
        direct, compare_array = None, None
        for i in range(1, int(n_step)):
            v = features_min + self.learning_rate * i
            if v not in features:
                # 误分类计算
                compare_array_positive = np.array([1 if features[k] > v else -1 for k in range(m)])
                weight_error_positive = sum([weights[k] for k in range(m) if compare_array_positive[k] != labels[k]])
                compare_array_nagetive = np.array([-1 if features[k] > v else 1 for k in range(m)])
                weight_error_nagetive = sum([weights[k] for k in range(m) if compare_array_nagetive[k] != labels[k]])
                if weight_error_positive < weight_error_nagetive:
                    weight_error = weight_error_positive
                    _compare_array = compare_array_positive
                    direct = 'positive'
                else:
                    weight_error = weight_error_nagetive
                    _compare_array = compare_array_nagetive
                    direct = 'nagetive'
                # print('v:{} error:{}'.format(v, weight_error))
                if weight_error < error:
                    error = weight_error
                    compare_array = _compare_array
                    best_v = v
        return best_v, direct, error, compare_array
    # 计算alpha
    def _alpha(self, error):
        return 0.5 * np.log((1-error)/error)
    # 规范化因子
    def _Z(self, weights, a, clf):
        return sum([weights[i]*np.exp(-1*a*self.Y[i]*clf[i]) for i in range(self.M)])
    # 权值更新
    def _w(self, a, clf, Z):
        for i in range(self.M):
            self.weights[i] = self.weights[i]*np.exp(-1*a*self.Y[i]*clf[i])/ Z
    # G(x)的线性组合
    def _f(self, alpha, clf_sets):
        pass
    def G(self, x, v, direct):
        if direct == 'positive':
            return 1 if x > v else -1 
        else:
            return -1 if x > v else 1 
    def fit(self, X, y):
        self.init_args(X, y)
        for epoch in range(self.clf_num):
            best_clf_error, best_v, clf_result = 100000, None, None
            # 根据特征维度, 选择误差最小的
            for j in range(self.N):
                features = self.X[:, j]
                # 分类阈值，分类误差，分类结果
                v, direct, error, compare_array = self._G(features, self.Y, self.weights)
                if error < best_clf_error:
                    best_clf_error = error
                    best_v = v
                    final_direct = direct
                    clf_result = compare_array
                    axis = j
                # print('epoch:{}/{} feature:{} error:{} v:{}'.format(epoch, self.clf_num, j, error, best_v))
                if best_clf_error == 0:
                    break
            # 计算G(x)系数a
            a = self._alpha(best_clf_error)
            self.alpha.append(a)
            # 记录分类器
            self.clf_sets.append((axis, best_v, final_direct))
            # 规范化因子
            Z = self._Z(self.weights, a, clf_result)
            # 权值更新
            self._w(a, clf_result, Z)
#             print('classifier:{}/{} error:{:.3f} v:{} direct:{} a:{:.5f}'.format(epoch+1, self.clf_num, error, best_v, final_direct, a))
#             print('weight:{}'.format(self.weights))
#             print('\n')
    def predict(self, feature):
        result = 0.0
        for i in range(len(self.clf_sets)):
            axis, clf_v, direct = self.clf_sets[i]
            f_input = feature[axis]
            result += self.alpha[i] * self.G(f_input, clf_v, direct)
        # sign
        return 1 if result > 0 else -1
    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        for i in range(len(X_test)):
            feature = X_test[i]
            if self.predict(feature) == y_test[i]:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)
X = np.arange(10).reshape(10, 1)
y = np.array([1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1])
clf = AdaBoost(n_estimators=3, learning_rate=0.5)
clf.fit(X, y)
X, y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.33)
clf = AdaBoost(n_estimators=10, learning_rate=0.2)
clf.fit(X_train, y_train)
clf.score(X_test, y_test)
# 100次结果
result = []
for i in range(1, 101):
    X, y = create_data()
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.33)
    clf = AdaBoost(n_estimators=100, learning_rate=0.2)
    clf.fit(X_train, y_train)
    r = clf.score(X_test, y_test)
    # print('{}/100 score：{}'.format(i, r))
    result.append(r)
print('average score:{:.3f}%'.format(sum(result)))

sklearn实现

https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.ensemble.AdaBoostClassifier.html

from sklearn.ensemble import AdaBoostClassifier
clf = AdaBoostClassifier(n_estimators=100, learning_rate=0.5)
clf.fit(X_train, y_train)
clf.score(X_test, y_test)