向量的基本运算

定义：n个有次序的数 所组成的数组称为n维向量，这 n个数称为该向量的 n个分量，第 i个数 称为第 i个分量．

称为n维向量。若记，则称为n维向量
n分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．

备注：
1.这里一般只讨论实向量 ．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量．所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量．
2.列向量用黑色小写字母 等表示，行向量则用 表示．
3.向量既然是矩阵的特殊情形，所以它具有矩阵的所有运算性质。

**_向量的内积_**<br />**定义：设有**_**n**_**维向量**![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/36605cf01f600d3f4659b0b1b76fe50d.svg#card=math&code=%5Cbegin%7Bequation%7D%0Ax%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0Ax_%7B1%7D%20%5C%5C%0Ax_%7B2%7D%20%5C%5C%0A%5Cvdots%20%5C%5C%0Ax_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%2C%20y%3D%5Cleft%28%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0Ay_%7B1%7D%20%5C%5C%0Ay_%7B2%7D%20%5C%5C%0A%5Cvdots%20%5C%5C%0Ay_%7Bn%7D%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%29%0A%5Cend%7Bequation%7D&id=WTUGO)

令
则称 为向量 和的内积．

说明：
内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数．
内积可用矩阵乘法表示：当和 都是列向量时，

内积具有下列性质（其中 为 维向量，为实数）：
对称性：
线性性质：
当 x = 0（零向量） 时
当 x ≠ 0（零向量） 时


施瓦兹（Schwarz）不等式

向量的范数（长度）

称 为维向量的长度（或范数）
当时，称为单位向量

向量的长度具有下列性质：
非负性：当 x = 0（零向量） 时， ; 当 x ≠ 0（零向量） 时，
齐次性：
施瓦兹不等式 :
三角不等式：

**_向量的夹角_**<br />**定义：当 **_**x **_**≠ 0 且 **_**y **_**≠ 0 时，把**![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/6d1729d08ca6c04f73cf7cb6037e741a.svg#card=math&code=%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Ctheta%3D%5Carccos%20%5Cfrac%7B%5Bx%2C%20y%5D%7D%7B%5C%7Cx%5C%7C%20%5Ccdot%5C%7Cy%5C%7C%7D%0A%5Cend%7Bequation%7D&id=HZRQw)**称为 **_**n**_**维向量 **_**x**_**和 **_**y**_**的夹角．当 [**_**x**_**, **_**y**_**] = 0，称向量 **_**x**_**和 **_**y**_**正交．记为**![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/8ceeac3d3785a3cc3155c0f7e64c5fb6.svg#card=math&code=%5Cbegin%7Bequation%7D%0Ax%20%5Cperp%20y%0A%5Cend%7Bequation%7D&id=K6yVY)<br />**正交的性质**<br />**1.对于任意**![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/b37521c449117f8fb61a650df0652bfd.svg#card=math&code=%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Calpha%20%5Cin%20R%5E%7Bn%7D%2C%200%20%5Cperp%20%5Calpha%0A%5Cend%7Bequation%7D&id=HtxNs)<br />**2.对于**![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/b153f80bac3993354f0d51fe976f77ad.svg#card=math&code=%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Cboldsymbol%7B%5Calpha%7D%2C%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%20%5Cin%20%5Cboldsymbol%7BR%7D%5E%7Bn%7D%0A%5Cend%7Bequation%7D&id=brFw4)**，若**![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/f5e8b0ba244f4fc47c1de020ad860221.svg#card=math&code=%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5Calpha%20%5Cperp%20%5Cboldsymbol%7B%5Cbeta%7D%0A%5Cend%7Bequation%7D&id=ibp70)**，则**![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/bb76dd0d5cf40d604ad349c6db7a04e7.svg#card=math&code=%5Cbegin%7Bequation%7D%0A%5C%7C%5Calpha%5C%7C%5E%7B2%7D%2B%5C%7C%5Cbeta%5C%7C%5E%7B2%7D%3D%5C%7C%5Calpha%2B%5Cbeta%5C%7C%5E%7B2%7D%0A%5Cend%7Bequation%7D&id=WzeGS)**（勾股定理）**

向量组及其线性组合

定义：给定向量组 ， 对于任何一组实数，表达式称为向量组 A的一个线性组合． 称为这个线性组合的系数．

定义：给定向量组 和向量 b，如果存在一组实数，使得则向量 b 是向量组 A 的线性组合，这时称向量 b 能由向量组A的线性表示．

一般地，对于任意的 n 维向量b，必有

n阶单位矩阵 En的列向量叫做 n维单位坐标向量．

设有向量组A：a_1, _a_2, …, _am 及B：b_1, _b_2, …, _bl ， 若向量组B能由向量组A线性表示，即

判断一个向量能否由向量组线性表示

**_向量组的等价_**<br />**定义:设有向量组**![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/279adb83d1caba852f54844ae54b3406.svg#card=math&code=A%3A%20a_1%2Ca_2%2C%E2%80%A6%20%2C%20a_m&id=ka02X)**/及向量组**![](https://cdn.nlark.com/yuque/__latex/c4180c24e40107e2109ec34065e2b632.svg#card=math&code=B%3A%5Cbeta%20_1.%5Cbeta%20_2%2C%E2%80%A6%EF%BC%8C%5Cbeta%20_s%20&id=uKBHP)**.若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.**<br />**若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价.若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称这两个向量组等价.**

定理：向量组能由向量组线性表示
向量组能由向量组 线性表示
存在矩阵，使得
矩阵方程 有解

推论 如果向量组B 能由向量组 A线性表示，则

推论：向量组及等价的充分必要条件是．
证明：向量组A 和 B 等价
向量组B 能由向量组 A线性表示
向量组A 能由向量组 B线性表示
从而有 .

向量组及其线性组合
设有向量组及若向量组B能由向量组线性表示，即
对于 ，存在一组实数 ，使得
对于 ，存在一组实数 ，使得

对于 ，存在一组实数 ，使得

若 ，即
则

结论：矩阵 C的列向量组能由矩阵 A的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．

向量组的线性相关性

秩、线性方程组的解、向量的线性表示之间的关系

1.给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A线性表示？
2.如果零向量可以由向量组 A 线性表示，那么线性组合的系数是否不全为零？

定义：给定向量组 ，如果存在不全为零的实数，使得（零向量）则称向量组 A是线性相关的，否则称它是线性无关的．

向量组 线性相关，通常是指 m≥2 的情形
若向量组只包含一个向量：当a 是零向量时，线性相关；当a 不是零向量时，线性无关．
向量组 (m ≥2) 线性相关，也就是向量组 A中，至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性表示．
特别地， 线性相关当且仅当 的分量对应成比例,其几何意义是两向量共线．
线性相关的几何意义是三个向量共面．

给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居其一

无关组的子向量组必为无关组【或者整体无关，部分必无关】

向量组线性相关性的判定（重点、难点）
向量组 线性无关
如果 （零向量），则必有

m元齐次线性方程组Ax = 0只有零解．
矩阵的秩等于向量的个数 m ．R(A) = m
向量组 A中任何一个向量都不能由其余 m－1 个向量线性表示．

定理
若向量组 线性相关， 则向量组 也线性相关．其逆否命题也成立，即若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关．
m个 n维向量组成的向量组，当维数 n小于向量个数 m时，一定线性相关．特别地， n + 1个 n维向量一定线性相关．
设向量组 线性无关， 而向量组 线性相关，则向量 必能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的．

向量组的秩的概念

定义：设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量，满足
①向量组 线性无关；
②向量组 A中任意 r + 1个向量（如果 A中有r + 1个向量的话）都线性相关；
那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性无关向量组，简称最大无关组.
最大无关组所含向量个数 r称为向量组A的秩，记作

最大无关组的等价定义
定义：设有向量组 A，如果在 A中能选出 r 个向量，满足
①向量组 线性无关；
②向量组 A中任意一个向量都能由向量组 线性表示；
②向量组 A中任意 r + 1个向量（如果 A中有 r + 1个向量的话）都线性相关；
那么称向量组 是向量组 A的一个最大无关组．

最大无关组的意义
结论：向量组 A和它自己的最大无关组 是等价的．
用 A0 来代表 A，掌握了最大无关组，就掌握了向量组的全体．
特别，当向量组 A 为无限向量组，就能用有限向量组来代表．

凡是对有限向量组成立的结论，用最大无关组作过渡，立即可推广到无限向量组的情形中去

向量组的最大无关组


一般地，

• 若是矩阵 A的一个最高阶非零子式，则 所在的r列是 A的列向量组的一个最大无关组， 所在的r 行是 A 的行向量组的一个最大无关组．
• 向量组的最大无关组一般是不唯一的．
• 矩阵的秩等于它的列向量组的秩．矩阵的秩等于它的行向量组的秩．
• 今后，向量组 的秩也记作 ．

线性方程组的解的结构

回顾：线性方程组的解的判定
1.包含n个未知参数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A)=R(A,b) 并且
当 R(A)=R(A,b)=n 时，方程组有唯一解；
当 R(A)=R(A,b)<n 时，方程组有无穷多个解；
当 R(A)<R(A,b) 时，方程组无解.
2.包含n个未知参数的齐次线性方程组Ax=_0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩_R(A)<n.

解向量的定义
定义：设有齐次线性方程组 Ax = 0 ，如果为该方程组的解，则称为方程组的解向量．

齐次线性方程组的解的性质
性质1：若是齐次线性方程组 Ax = 0的解，
则 是的解．
证明：

性质2：若 是齐次线性方程组 的解， 为实数，
则 是 的解．
证明：

结论：若 是齐次线性方程组的解， 则
是 的解.

线性方程组的解的结构

能否通过有限个解向量的线性组合把的通解表示出来？
把 的全体解组成的集合记作，若求得的一个最大无关组，那么 的通解可表示为 ．

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）．

基础解系的概念
定义齐次线性方程组 的一组解向量：，如果满足
①线性无关；
②方程组中任意一个解都可以表示的线性组合，
那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系．

齐次线性方程组的基础解系

设 ，为叙述方便，不妨设 行最简形矩阵为

对应的齐次线性方程组

令 作自由未知数，则

令则

记作（满足基础解系②）

故 即（满足基础解系①）
于是 就是齐次线性方程组 的基础解系．

定理12：设 矩阵的秩 ，则 n 元齐次线性方程组Ax = _0 的解集 _S 的秩

线性方程组的基础解系

例：求齐次线性方程的基础解系．

方法1：先求出通解，再从通解求得基础解系．

令， 得通解表达式

因为 方程组的任意一个解都可以表示为的线性组合． 的四个分量不成比例，所以 线性无关． 所以 是原方程组的基础解系．

方法2：先求出基础解系，再写出通解．

合起来便得到基础解系

问题：是否可以把 _x_1选作自由变量？ 答：可以，因为是否把系数矩阵化为行最简形矩阵，其实并不影响方程组的求解．当两个矩阵行等价时，以这两个矩阵 为系数矩阵的齐次线性方程组同解．

令， 得通解表达式

从而可得另一个基础解系： ．

例 设 （零矩阵），证明 ．

思考 如果n元齐次线性方程组 Ax = 0 与Bx = 0 同解，则R(A) = R(B) ．为什么？
例17（教材） 证明：

非齐次线性方程组的解的性质

性质3：若 是非齐次线性方程组 的解，
则 是对应的齐次线性方程组 的解．
证明:

性质4：若是非齐次线性方程组 的解，
是齐次方程组的解，则 是 的解．
证明:

非齐次线性方程组的解的结构

线性方程组的解

例：求线性方程组的通解

解：可以求得 是方程组的一个特解，其对应的齐次线性方程组为 对应的齐次线性方程组的一个基础解系为

于是，原方程组的通解为

向量空间及向量组的正交化

封闭的概念
定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素进行某一运算得到的结果仍属于该集合．

向量空间的概念
定义设 V是 n维向量的集合，如果
① 集合 V非空，
② 集合 V对于向量的加法和数乘两种运算封闭，
具体地说，就是：
（1）若 （对加法封闭）
（2）若 （对数乘封闭）
那么就称集合 V为向量空间．

定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间.

定义：把集合
称为由向量 a, b 所生成的向量空间．
一般地，把集合
称为由向量组 所生成的向量空间．

向量空间的基的概念
定义：设有向量空间V，如果在 V中能选出 r个向量，满足
① 线性无关；
② V中任意一个向量都能由 线性表示；
那么称向量组 是向量空间 V的一个基．
r称为向量空间 V的维数，并称 V为 r维向量空间．


定义：如果在向量空间 V 中取定一个基 ，那么V
中任意一个向量可唯一表示为
数组称为向量 x 在基中的坐标．

正交基
回顾以往的 定义：当 x≠ 0 且 y≠ 0 时，如果
，称向量 x和 y正交．记为

定理13：如果 是一组两两正交的非零向量组，则线性无关。
注：一组两两正交的非零向量组称为正交向量组，若正交向量组是向量空间的基，则称为向量空间的正交基。

规范正交基
定义：设n维向量 是向量的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称则是V的一个规范正交基。

若 是V的一个规范正交基，那么V中任一向量α都
可由 线性表示，设表示式为
注意到：
利用此式,可方便地求得向量在规范正交基中的坐标，因此常取规范正交基.

基向量的规范正交化（Schimidt）
设是向量空间 V 中的一个基 ，以下办法可以把规范正交化（施密特Schimide正交化）。