高中公式

三角函数公式

和差角公式

和差化积公式

积化和差公式

倍角公式

半角公式

第1章 极限与连续

1.1 集合、映射、函数

空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界
确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。
映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，因变量，基本初等函数

1.2 数列的极限

性质：
1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。
2. （有界性）收敛数列必为有界数列。
3. （子列不变性）若数列收敛于，则其任何子列也收敛于。

注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。 注2. 若数列有两个子列均收敛于a，且这两个子列合起来就是原数列，则原数列也收敛于a。 注3. 性质3 提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。

1. （对有限变动的不变性）若数列收敛于，则改变中的有限项所得到的新数列仍收敛于。
   5. （保序性）若，且，则存在，当时，有。

判别法则：
1.夹逼法则：若，当时，，且，则。

2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。
注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。

3.柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对于任意给定的正数，都存在正整数，使得当时，有。

1.3 函数的极限

性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。
判别法则：
1. 夹逼法则： 若，且存在的某一去心邻域，使得，均有，则。
2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。
3. 柯西收敛准则：函数收敛的充要条件是：，则。
4. 海涅(Heine) 归结原则：的充要条件是：对于任何满足的数列，都有。

归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个收敛于该点的自变量的数列，而相应的函数值数列却不收敛；或者选出两个收敛于该点的数列，而相应的函数值数列却具有不同的极限。

1.4 无穷小与无穷大

若，当时， 则称时称是的

常用等价无穷小


若，则
确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式

1.5 连续函数

极限存在⇔左右极限存在且相等。
连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。
简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.
左右极限至少有一个不存在。
闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。

1.6 常见题型

求极限的方法：
1.四则运算；
2.换元和两个重要极限；
3.等价无穷小替换；
4.泰勒公式；
5.洛必达法则；
6.利用函数极限求数列极限；
7.放缩法；求极限就要将数列放大与缩小成：
8.求递归数列的极限
(1)先证递归数列收敛（常用单调收敛原理），然后设再对递归方程取极限得, 最后解出即可。
(2)先设，对递归方程取极限后解得，再用某种方法证明。

第2章 导数与微分

2.1 求导法则和求导公式

求导法则：

1.四则运算法则

2.复合函数求导

关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量

3.反函数求导

4.隐函数求导

5.参数式求导

6.对数求导法

7.分段函数求导

（1）按求导法则求连接点处的左右导数
设，若，则
（2）按定义求连接点处的左右导数
设，与在点处无定义，可按定义求 与
（3）对于
1）很复杂，按定义求，
2）否则，先求出，再求

8.变限积分求导

求导公式：

2.2 高阶导数和高阶微分

求高阶导数的方法：

1.莱布尼茨（Leibniz）公式：

2.常用公式

3.分解法

分解为上述初等函数之和