矩阵与线性变换

Unfortunately, no one can be told what the Matrix is. You have to see it for yourself. Morpheus(Surprisingly apt words on the importance of understanding matrix operations visually)

矩阵如同线性变换。Martices as Linear transformations.

Linear transformations

Transformations

变换 本质上是 函数 的另一种说法，它接收输入内容，并输出对应结果。在线性代数中，考虑的是接收一个向量并且输出一个向量的变换。使用“变换”这个词是在暗示以特定的方式来可视化这一输入-输出关系，用 运动 去思考。

所有二维向量的整体变换：

把每一个向量看做它的终点，而不是一个箭头：

将无线网格上的所有点同时变换：

空间变换 可以非常复杂，给人一种挤压和变形空间的感觉：

Linear

线性代数将 变换 限制在一种特殊类型内，即 线性变换 。
线性变换 具有两条性质：

1. 直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲 Lines remain lines
2. 原点保持固定 Origin remains fixed

以下几种情形不属于线性变换：

1. 网格线被弯曲了
   
2. 虽然线条平直，原点移动了
   
3. 虽然线条平直，原点没有移动，但它对一条对角线作用时，显然也不是线性变换
   

把线性变换看作是“保持网格线平行且等距分布”的变换

简单的线性变换，如关于原点的旋转：

复杂的线性变换：

用数值描述线性变换

什么样的公式在接收一个向量的坐标后，能够输出变换后的向量的坐标呢？即，用什么样的公式来描述向量的这种变换？
只需要基向量 和 变换后的位置，其他向量都会随之而动，可以推断出任意向量在变换之后的位置。完全不必观察变化本身是什么样的。

假设基向量 和 变换后的位置为 , ，有一个向量 随之变换，变换后的向量就是

一个二维向量的线性变换仅由四个数字完全确定：变换后的 的两个坐标，和变换后的 的两个坐标。
通常会将变换后的 和 包装在一个的格子内，称之为矩阵。如果有一个描述线性变换的矩阵，以及一个给定向量，就可以了解线性变换对这个向量的作用。
一个描述线性变换的矩阵为，给定向量，想了解线性变换对这个向量的作用，只需取出向量的坐标，将它们分别与矩阵的特定列相乘，然后将结果相加即可，这与缩放基向量再相加的思想一致：

矩阵向量乘法

更一般的情况下，矩阵只是一个记号，含有描述一个线性变换的信息，第一列是变换后的第一个基向量，第二列是变换后的第二个基向量，让这个变换作用于向量，结果就应该是，合并后会得到，即

这里矩阵放在向量左边，类似一个函数。
将矩阵的列视为变换后的基向量，把矩阵向量乘法视作它们的线性组合。
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应用

已知线性变换，用矩阵描述：

1. 逆时针旋转90°：
   
   
2. 剪切（错切）：
   

已知矩阵，推断线性变换：

1. 列线性无关的普通矩阵
   
2. 列线性相关的矩阵
   矩阵列线性相关，意味着其中一个向量是另一个的倍数，那么这个线性变换会将整个二维空间挤压到它们所在的一条直线上，也就是这两个向量所张成的一维空间

线性变换是操纵空间的一种手段，它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动。这种变换只需几个数字就能描述清楚，这些数字就是变换后的基向量的坐标。以这些坐标为列所构成的矩阵提供了一种描述线性变换的语言，而 矩阵向量乘法 就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径。

【关键视角】将矩阵看作空间的变换后，线性代数的其他主题都会更容易理解。