Mathematics requires a small dose, not of genius, but of an imaginative freedom which, in a larger dose, would be insanity. Angus K. Rodgers
基向量
在xy坐标系中，有两个非常特别的向量
和
，其中
基向量。
向量：缩放基向量并相加
将向量
的每个坐标视作一个标量，考虑它们如何拉伸或压缩一个向量。它将 拉伸为原来的3倍，将 反向拉伸为原来的2倍。实际上是两个经过缩放的向量的和：
。
向量的和仍然是一个向量，即
把向量看作标量时， 基向量 实际上就是这些标量缩放的对象。
可以根据不同 基向量 构建坐标系，来获得一个合理的坐标系。比如随意选一个指向右上方的向量，再随意选一个指向右下方的向量，此时选择两个标量，分别缩放两个基向量中的一个，然后再把它们相加，就能得到不同的结果。
通过改变所选择的标量，可以得到哪些二维向量？事实上，这样做可以得到所有的二维向量。
这样一对基向量，同样允许一对数和二维向量自有转化，但是这种变换各系与之前用 和 的变换关系完全不同：
每当用数字描述向量时，它都依赖于正在使用的基。
两个数乘向量的和被称为这两个向量的 线性组合 ：
标量自由变化：张成的空间
如果固定其中一个标量，让另一个标量自由变化，所产生的向量的终点会描出一条直线：
如果让两个标量同时自由变化，考虑所有可能得到的向量，有三种情况：
- 对于一对初始向量，能达到平面中的每一个点，所有二维向量尽在掌握
- 当两个初始向量共线时，所产生的向量的终点被限制在一条过原点的直线上
- 当两个向量都是0向量时，只能待在原点了
所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合，被称为给定向量 张成的空间 （span）
- 对大部分二维向量来说，两个向量张成的空间是所有二维向量的集合；
- 当两个二维向量共线时，它们张成的空间就是重点落在一条直线上的向量的集合
线性代数紧紧围绕着向量加法和数乘
两个向量张成的空间实际上是问，“仅通过向量加法和数乘这两种基础运算，你能获得的所有可能向量集合是什么？”
Vectors vs. Points 将向量看做点
在二维平面上，所有向量铺满时会显得拥挤，通常用向量的终点代表该向量，默认起点为原点。
用这种方法来看落在一条直线上的所有向量时，只需考虑直线本身。
用这种方法来看平面上的所有二维向量时，将每个向量抽象为它的终点，不必考虑所有的箭头，只需考虑无限大的二维平面。
当只考虑一个向量时，就把它看作箭头；
当考虑多个向量时，就把它们都看作点。
对大部分二维向量来说，它们张成的空间是整个无限大的二维平面。但如果共线，它们张成的空间就是一条直线。
三维空间情况
两个三维向量张成的空间是什么样的？
这两个向量张成的空间就是它们所有的可能的线性组合，也就是缩放再相加之后的所有可能得到的向量。
逐渐改变线性组合中的两个标量，将缩放后的向量相加，然后跟着最终向量的终点走，会画出三维空间中某个过原点的平面。这个平面就是这两个向量张成的空间。
再加上第三个向量，那么它们张成的空间又是什么样的？
选择三个标量，对三个向量分别缩放，然后再把结果相加，而这三个向量所有可能的线性组合构成了它们张成的空间：
对张成空间而言，让a,b,c这些常数变化。
在这里有两种情况：
- 如果第三个向量恰好落在前两个向量所张成的平面上，它们张成的空间与前两个向量所张成的空间一样。换句话说，在线性组合中引入第三个向量并没有作用
- 但是如果随机选择一个向量，几乎不可能落在前两个向量所张成的平面中，此时由于第三个向量指向不同的方向，就能得到所有的三维向量。缩放第三个向量时，它将前两个向量张成的平面沿它的方向来回移动，从而扫过整个空间。换句话说，完全利用了掌握的自由变化的三个标量，从而得到了空间中所有的三维向量
线性相关
可以用于描述第三个向量落在前两个向量张成的空间当中，或者两个向量恰好共线的情况。即一组向量中，至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献。
一个向量可以表示为其它向量的线性组合，因为这个向量已经落在其它向量张成的空间中，那么它就是 线性相关 的。
如果所有的向量都给张成的空间增添了新的维度，它们就被称为 线性无关 的。
空间的一组基的严格定义：张成该空间的一个线性无关向量的集合。
向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。 A basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space.
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