环

环的定义

基本定义

定义：设R是一个非空集合，R上定义有两个代数运算：加法（记为“＋”）和乘法（记为“○”），假如： (1)R对于加法构成一个交换群。 (2)R的乘法满足结合律。即对于任意 a,b,c∈R，有 a∙(b∙c)=(a∙b)∙c (3)乘法对加法满足左、右分配律，即对于任意a,b,c∈R ，有 a∙(b+c)=a∙b+a∙c(b+c)∙a=b∙a+c∙a 则称R为环。

扩展定义

(4)乘法交换，即对于任意a,b∈R ，有a∙b=b∙a，则称R为交换环。
如果R中存在元素1R ，使得
(5)对于任意a∈R ，有a∙1R=1R∙a=a ，则称R为有单位元环。元素1R （或简记为1）称为R中的单位元。 R的加法群中的单位元素记为**0**，称为环R的零元素。R中的元素a加法逆元称为负元，记为−a 。

  1. 举个例子：全体整数关于数的**普通加法和乘法**构成一个环，称为整数环，记为Z。