第六章：计算机的运算方式

无符号数和有符号数

无符号数

定义

所谓无符号数即没有符号的数，在寄存器中的每一位均可用来存放数值。

例如123就是一个无符号数，±123就是一个有符号数，显然无符号数只能表达正数，不能表达复数。

表示范围

无符号的数的表示范围和机器字长有关，如果机器字长为16位，那么无符号数的表示范围就是：0～65535

65535就是216-1。

有符号数

对有符号数而言，符号的“正”、“负”机器是无法识别的，但由于“正”、“负”恰好是两种截然不同的状态，如果用“0”表示“正”，用“1”表示“负”，这样符号也被数字化了，并且规定将它放在有效数字的前面，这样就组成了有符号数。

有符号数的表示有三种方式：

• 原码
• 补码
• 反码

  原码

  原码定义如下：
  整数定义：
  
  小数定义：
  
  其中x表示的就是真值（也就是实际值）。
  比如如果是整数：
  [1101]原 = 0,1101
  [-1101]原 = 1,1101

  使用**,**作为间隔。

如果是小数：
[0.1101]原 = 0.1101
[-0.1101]原 = 1.1101

使用**.**作为间隔，并且把原先整数位的**0**改为了符号位。

原码中有一个特殊例子，那就是**0**的源码。
由于0可以表示为﹢0和﹣0，所以0的源码有两种：

• ﹢0：0,0
• ﹣0：1,0

如果机器中采用原码做运算，会出现如下问题：
当一个正数加上一个负数的时候，符号位有可能为正也有可能为负。

相当于做了减法运算，但是计算机不擅长做减法而是擅长加法，所以需要进行一个转换。

为了避免这种情况于是出现了补码。

补码

补码的本质其实就是同余。
举个例子，在时钟的背景下，如果想要把6点变为3点，有两种做法：

• 6 - 3 = 3
• 6 + 9 = 15 = 3

  15点相当于3点。

所以这里6加9和减去3的效果是一样的。
补码的定义如下：

小数补码：

有一种更简单的方法求解：

• 对于正数x：[x]原 = [x]补
• 对于负数x：[x]**补 = [x]原**符号位不变，各位取反，末位加一

例如：

• [1101]补=[1101]原 = 0,1101
• [-1101]补 = 1,0011

  负数求解过程如下： 首先求解原码：[- 1101]原 = 1,1101 除了符号位1，后面四位取反：1,0010 最后末位一个数加一1,0011 如果遇到算数溢出，则舍去溢出部分。

和原码不同的是，±0的补码都是相同的，以4位为例：

• [+ 0000]补：0,0000
• [ - 0000]补：0,0000

  • 0000的原码是1,0000 各位取反为：1,1111 末尾加1会发现此时变为了10,0000 这里会发现符号位溢出了，需要去掉最高位，所以[-0000]补：0,0000

最后补充一个知识点：
相反数的补码：连同符号位，各位取反，末位加一
假设[y]补 = y0.y1y2...yn，求[-y]补

反码

定义：

小数定义：

求解很简单：

• 正数：等同于原码
• 负数：符号位不变，各位取反

例如：

• [1101]反=[1101]原 = 0,1101
• [-1101]补 = 1,0010

移码

当真值使用补码表示的时候，由于符号位和数值部分一起编码，所以比较的时候很难从补码的形式上判断真实的大小。
例如数21对应二进制的补码就是：0,10101
-21对应二进制的补码表示是：1,01101
由于在计算机中，,其实是不存在的，只是为了便于辨别符号和真值才写的，所以符号位也是一个二进制数，从代码形式上来看，就会得出1,01101 > 0,10101。
但实际是相反的，为了便于直接进行比较，所以出现了移码。

移码的定义是在对应真值加上一个2n。
但是这里有一个更简单的方法计算：对应补码符号位取反
例如：

• [10101]补 = 1,10101
• [-10101]补 = 0,01011

这样就可以直接比较移码的大小判断真值的大小。

小结

计算机三种码制：
正数：[x]原 = [x]补= [x]反
负数：

• 补 = [x]原 符号位不变，各位取反，末尾加一
• 反 = [x]原 符号位不变，各位取反

正数使用,区分，小数使用.区分。
表示范围：（假设机器字长为8位，总共可以表示256个数）

• 原码：-127 ~ 127
• 补码：-128 ~ 127
• 反码：-127 ~ 127
• 真值： 0 - 255

本小节参见：
福建师范大学网络教育学院网络课程《计算机组成原理》WEB教程

数的定点表示和浮点表示

定点表示

所谓定点表示，就是小数点的位置是固定。

当小数点位于数符和第一数值位之间时，机器内的数为纯小数；
当小数点位于数值位之后时，机器内的数为纯整数。
在定点机中，由于小数点的位置固定不变，故当机器处理的数不是纯小数或纯整数时，必须乘上一个比例因子，否则会产生“溢出”。

比如机器字长为8位，使用定点表示4这个数就是0000100 使用定点表示0.5这个数就是0.10000000（小数点后面8位） 简单来说定点数就是保证位数固定不变。

浮点表示

定义

常用的科学计数法：
352.47=3.5247×102
=3524.7×10-1
=0.35247×103
浮点表示也是类似的，其格式如下：
N=S×rj
其中：

• N ：真值
• S ：尾数（可正可负）
• r ：基数（一般取 2,4,8）
• j ： 阶码（可正可负）

举个例子：
11.0101 = 0.110101 2*10

注意：这里的**10**不是十进制当中的十，而是二进制表示的**2**。

• S ：0.110101
• r ：2

• j ： 10

  浮点数的表现形式

  浮点数的表现形式如下：
  
  前j位用于表示阶码，其中1位表示阶符（1表示-，0表示+），剩下用于表示真值；
  后s位用于表示尾数，其中1位表示数符（1表示-，0表示+），剩下用于表示真值；
  举个例子，假设阶码有**4**位，尾数有**8**位，0.110101 * 2**10**可以表示为：
  0,010; 0.1101010

• 阶符 ：0（1位）

• 阶码真值 ：010（3位）
• 数符 ：0（1位）
• 尾数真值 ：.1101010（7位）

  使用**;**间隔尾数和阶码 其中：当小数点后面第一位为1的时候，这种为浮点数的规格化形式。 例如：N = 0.110101 * 210

浮点数的表示范围

以通式N= S×rj为例，设浮点数阶码的数值位取m位，尾数的数值位取n位，当浮点数为非规格化数时，它在数轴上的表示范围如下所示。

首先看正数区，也就需要求出最大正数和最小正数即可确定范围。
如果是最大正数，那么阶码就应该取正数的最大值，m位数值为阶码代表阶码数值的最大值应该为2m-1。

例如：阶码数值为有4位，那么最大值应该是1111也就是15 = 24 -1

其次，尾数也要最大，也就是尾数数值部分应该全为1，数值部分总共有n位，那尾数的最大值就是1-2-n

例如：尾数数值有8位，那么最大值应该是0.11111111也就是1-2-8

所以得出了正数区的上限就是：
其余上下限同理可以获得。

浮点数的数值只有在这两个区间（负数区和正数区）之间是有效的，超出这两个区域的都被称为溢出。

• **上溢出**：浮点数阶码大于最大阶码，机器停止运算，进行中断溢出处理

• **下溢出**：浮点数阶码小于最小阶码，尾数强置为0，按照机器零处理

  浮点数的规格化

  在浮点数中：基数r越大，表示的浮点数范围越大，但是精度会下降。
  为了提高精度，一般会把尾数转为规格化数，通常通过修改阶码并且将尾数左右移动的方式实现，实现规则如下：

• 基数为2时

  • 尾数最高位为1的数是规格化数
  • 左规：尾数左移1位，阶码减1
  • 右规：尾数右移1位，阶码加1
• 基数为4时
  • 尾数最高2位不全为0的数是规格化数
  • 左规：尾数左移2位，阶码减1
  • 右规：尾数右移2位，阶码加1
• 基数为8时
  • 尾数最高3位不全为0的数是规格化数
  • 左规：尾数左移3位，阶码减1
  • 右规：尾数右移3位，阶码加1

    注意这里的左移指的是尾数左移，实际小数点是右移的。 例如：0.0010变为0.0100就是左移1位

举例说明

　 例：将十进制数+13/128写成二进制定点数和浮点数（数值部分取10位，阶码部分取4位，阶符和数符各取1位），分别写出它在定点机和浮点机中的机器数形式。

这里只要知道1/128就是2-7即可，记得知道+13/128 = 1101 * 2-7

解：令x=+13/128
　　其二进制形式：x=0.0001101000
　　定点数形式：x=0.0001101000

定点数不足的位数使用0补齐，小数后面补0，整数前面补0。

　　浮点数规格化表示：x=0.1101000000×2-11

浮点数的表示可以根据定点数来写，对定点数进行规格化。

　　定点机中 [x]原=[x]补=[x]反=0.0001101000
　　浮点机中 [x]原：1,0011;0.1101000000
　　[x]补：1,1101;0.1101000000

定点数和浮点数的比较

（1）当浮点机和定点机中的数其位数相同时，浮点数的表示范围比定点数大得多。
　　（2）当浮点数为规格化数时，其精度远比定点数高。
　　（3）浮点数运算要分阶码部分和尾数部分，而且运算结果都要求规格化，故浮点运算步骤比定点运算步骤多，运算速度比定点低，运算线路比定点复杂。
　　（4）在溢出的判断方法上，浮点数是对规格化数的阶码进行判断，而定点数是对数值本身进行判断。如小数定点机中的数其绝对值必须小于1，否则即“溢出”，此时要求机器停止运算，进行处理。为了防止溢出，上机前必须选择比例因子，这个工作比较麻烦，给编程带来不便。而浮点数的表示范围远比定点数大，仅当“上溢”时机器才停止运算，故一般不必考虑比例因子的选择。

IEEE754标准

在IEE754浮点数标准中，定义的浮点数的格式如下表所示。

在IEEE754标准里面：

• 阶码使用移码表示
• 尾数用补码表示

  这样做的目的是机器零的表示正好可以让所有的位都是**0**，便于机器判断。

参见

本小节参见：
福建师范大学网络教育学院网络课程《计算机组成原理》WEB教程

定点运算

移位运算

什么是移位运算

举个简单的例子：15m = 1500cm
这就代表了15这个数字左移了2两位，左移之后空缺的地方补上了0，这就是移位运算。
在十进制中，左移一位，相当于数值大小为原来的10倍，那么在二进制中，左移一位，相当于数值大小为原来的2倍。
前面我们知道，计算机中有些二进制数是代表符号位的，那么又产生如下定义：

• **逻辑移位**：无符号位进行移位
• **算数移位**：有符号位进行移位

  算数移位规则

  补位的规则如下：

在算数移位的过程中：符号位不参与移动。
举个例子：
设机器数字长为8位（含一位符号位），若A=±26，写出三种机器数左、右移一位和两位后的表示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。
首先来看正数，根据八位的字长写出其二进制形式0,0011010：

红字部分就是补充的0。 这里会发现黄色背景部分，也就是在右移两位的过程中，由于最后一位1的移除，数据的精度下降了。

接下来看负数，这里就需要根据三种码制的不同来分别分析：

这里同样是黄色背景为精度丢失，红色字为补足。

总结上述规律：

• 左移可能会导致结果出错（最高位丢失）
• 右移可能会导致结果精度下降（最低位丢失）

  硬件实现左移和右移

  
  其中（a）真值为正的三种机器数的移位操作；（b）负数原码的移位操作；（c）负数补码的移位操作；（d）负数反码的移位操作。

  这里有个印象就行。

算数移位和逻辑移位的区别

有符号数的移位称为算术移位，无符号数的移位称为逻辑移位。
逻辑移位的规则是：逻辑左移时，高位移出，低位添0；逻辑右移时，低位移出，高位添0。例如，寄存器内容为01010011，逻辑左移为1010010，算术左移为00100110（最高数位“1”移丢）。
又如寄存器内容为10110010，逻辑右移为01011001。若将其视为补码，算术右移为11011001。显然，两种移位的结果是不同的。
上例中为了避免算术左移时最高数位丢1，可采用带进位(Cy)的移位，其示意图如下图所示。算术左移时，符号位移至Cy，最高数位就可避免移出。

加减法

补码加法的基本公式

前面说过，计算机通常会把减法化为加法进行计算，而把减法化为加法的做法就是使用补码。
加法公式如下：

• 整数：[A]补+[B]补=[A+B]补 (mod 2n+1)
• 小数：[A]补+[B]补=[A+B]补 (mod 2)

减法公式如下：

• 整数：[A-B]补=[A]补+[-B]补 (mod 2n+1)
• 小数：[A-B]补=[A]补+[-B]补 (mod 2)

  例题讲解

  例：x=0.1010，y=-0.0011，用补码的加法求x+y
  　　解：
  [x]补=0.1010，[y]补=1.1101
  　　[x]补+[y]补=0.1010+1.1101=10.0111（溢出部分舍去）
  　　x+y=0.0111

　　例：x=0.1001，y=-0.0011，用补码的减法求x-y
　　解：
[x]补=0.1001，[y]补=1.1101,[-y]补=0.0011
　　[x]补-[y]补=[x]补+[-y]补=0.1001+0.0011=0.1100
　　x-y=0.1100

溢出判断

例如在上面的题目中，补码做加减法的时候可能会存在溢出现象，这种溢出判断会影响实际值的大小，也就是超出了机器字长表示的范围。所以需要做溢出判断。
判断方式有两种：
（1）用一位符号做溢出判断
不难知道，只有如下两种情况才可能出现溢出：

• 正数+正数
• 负数+负数

  减法统一化为加法。

如果出现溢出现象，那么A``B两位的符号位应该是相同的，当运算结果的符号位和原**A**``**B**符号位不同的时候，就是溢出。
例如：书上P239页的表

绝对不是因为我懒得写表所以才让你们看书的。

（2）用两位符号做溢出判断
原始的符号位定义如下：

• 正：0
• 负：1

两位符号位的定义如下：

• 正：00
• 负：11

同样，如果出现溢出现象，那么A``B两位的符号位应该是相同的。
这种带有两位符号位的补码叫做变形补码，变形补码的运算需要带上符号位。
变形补码判断溢出的原则是：运算结果的两位符号位不同的时候，就表示溢出，否则就是不溢出。

• 正溢出：两位符号位为01
• 负溢出：两位符号位为10

无论是否溢出，两位符号位的最高位表示变形补码的真正符号。

　　例：
设x=+1100，y=+1000，求6位双符号位补码之和[x+y]补。
　　解：
[x]补=00,1100, [y]补=00,1000
[x+y]补=00,1100+00,1000=01,0100
[x+y]补=01,0100，其中两个符号位出现01，表示已溢出，并且为上溢出，最终结果符号为正。

验算可得：x+y = 12 + 8 = 20 ，确实为上溢出。

原码乘法

笔算乘法

设A=0.1101，B=0.1011，求A×B。
如果是笔算，可以知道：

可以看的出来，二进制的乘法其实可以概括为两个运算：加法运算和移位运算。
加法就是加法，而移位运算实际上就是乘2**n**，将其稍作改动可以获得：

由此可以知道原码的计算乘法的方法，主要有两种方法：

• 原码一位乘法
• 原码两位乘法

  这里的**一位**指代的是一次和一位二进制数做运算。 那么两位就是指一次和两位二进制数做运算。

原码一位乘运算

在计算机中，乘法最后的结果不是有一块单独的寄存器存储的，而是分为两块：ACC(乘积高位)，MQ(乘积低位)。

详情可以了解一下第一章的内容。

用一到例题来分析一下：

**|x|**表示被乘数的真值。

步骤如下：

• 首先，符号位由乘数和被乘数的符号位做异或决定，不参与后面的真值运算。
• 高位部分首先置为0，低位部分为**乘数真值**
• 然后**被乘数**依次乘以**乘数**各位（从低位到高位），其结果加上前一次高位部分的结果，作为高位的最终结果
• 高位部分右移一位，移出的部分补到低位部分的高位，低位部分的最低位舍去（这一点非常重要）
• 往复上述过程，直到乘数所有位数都被乘完，最终高位和低位合并即为最终结果。

比如，一开始高位置为0，也就是00.0000，低位为乘数真值，也就是1011。
先做加法运算，被乘数1101乘以乘数最低位1答案就是1101，结果加上前一次高位就是00.1101。
接下来做移位运算，高位右移一位：00.0110**~~1~~**；低位右移并且补位：**1**110**~~1~~**。

原码两位乘运算

原码两位乘与原码一位乘一样，符号位的运算和数值部分是分开进行的，但原码两位乘是用两位乘数的状态来决定新的部分积如何形成，因此可提高运算速度。
思路还是和一位乘一样，一位乘每次值乘一个二进制位数，也就是只有0, 1，两位乘就有四种情况：

上面四种情况里面，0倍就是加上0，1倍就是加上原数，2倍相当于原数直接左移一位，只有3倍处理起来比较麻烦，在计算机中可以这样操作：原数先乘以4（左移两位），再减去1倍的原数（转为补码就变成了加法）。

补码乘法

补码一位乘运算

补码做乘法运算的时候，大致和原码运算相同，以小数为例，假设：

• **被乘数**:[x]补 = x0.x1x2…xn
• **乘数**:[y]补 = y0.y1y2…yn

  原始一位乘不常用，看一下例题即可

补码一位乘法披着虎皮的汤姆猫的博客-CSDN博客补码一位乘法

补码比较法

常用的补码一位乘运算有：Booth算法。
手算模拟过程如下：

重点注意的上图中低位部分的末尾(yi)和辅助位（yi+1初始值为0）：

运算过程大致如原码乘法，从上面的图中可知，**4位真值**的补码一位乘法运算，一共做了：

• 4次移位运算
• 5次加法运算

最后一次加法运算和yi无关，统一加上**[x]****补**是用于矫正。

比较一下原码乘法运算：

参见：

补码乘法运算（计算机组成原理18）挚爱FXJ的博客-CSDN博客补码乘法

除法运算

笔算除法分析

笔算除法如下：

和正常十进制的除法运算类似，特点可以归纳为：

• 每次**上商**都是通过比较余数（被除数）和除数的大小来确定商为1还是0。
  • 例如：第一步中0.1101作为除数，大于被除数0.1011，所以第一位上商为0
• 每一次做减法运算，余数（被除数）不动，低位补0，再减去右移后的除数。
• 上商的位置不固定（说实话我也不懂这句话是什么意思）
• **商符**单独处理（也就是做异或运算）

  小数定点除法运算对于被除数和除数有一定的约束：0 < |被除数| ≤ |除数|

原码除法

原码除法有两种方法：

• 恢复余数法
• 加减交替法

假设：

（1）恢复余数法
特点：当余数为负数的时候，加上除数，让余数恢复为原来的余数。
步骤：

1. 符号位单独按两数符号异或求得;参与运算的是绝对值的补码
2. 判溢出, 要求|被除数| < |除数| （对小数而言）（如果是整数，则要求|被除数| > |除数| ）;
3. 被除数减去除数，（加上除数的补码）
4. 若所得余数为正,相应位上商为1,余数左移一位,减去[y]补;若余数为负,相应位上商为0,余数加上除数(恢复余数),再左移一位，加上[-y]补;
5. 重复第4步,直到求得所要求的商为止(移n次)
6. 若最后一步余数为负，则需要恢复余数。

举个例子：
例：已知：x=-0.1011,y=-0.1101,求：[x÷y]原
解：首先写出x和y的原码补码：[x]原=1.1011，[-y]补=1.0011,[y]原=1.1101

符号位由除数和被除数决定，最后可得，商值为0.1101。

四位小数，做五次加法运算，其中最后一次为矫正作用。

（2） 加减交替法
所谓渐渐交替法，也就是不做余数的回复，通过先移位的方式来避免恢复余数，过程如下：
举个例子：
例：已知：x=0.1011,y=-0.1101,求：[x÷y]原
解：首先写出x和y的原码补码：[x]原=1.1011，[-y]补=1.0011,[y]原=1.1101

这里是无论上商为多少，都是先做移位运算，再根据上商做加法

• 上商0：+[y*]补
• 上商1：+[-y*]补

最后答案还是相同的：0.1101

补码除法

补码除法常采用加减交替法。
算法规则如下：

1. 符号位参加运算，除数与被除数均用双符号补码表示。
2. 被除数与除数同号，被除数减去除数；被除数与除数异号，被除数加上除数。
3. 余数与除数同号，商上1，余数左移一位减去除数； 余数与除数异号，商上0，余数左移一位加上除数。（注意：余数左移加上或减去除数后就得到了新余数。）
4. 采用校正法包括符号在内，重复n+1次3

   注意，使用此运算规则，需要修正商符，商的末位恒置1。

简化可得：

关于商符：
在小数定点除法中，被除数的绝对值必须小于除数的绝对值，否则商大于1而溢出。因此：

• 当[x]补与[y]补同号时，[x]补-[y]补所得的余数[R0]补与[y]补异号，商上“0”，恰好与商的符号(正)一致；
• 当[x]补与[y]补异号时，[x]补+[y]补所得的余数[R0]补与[y]补同号，商上“1”，这也与商的符号(负)一致。

可见，商符是在求商值过程中自动形成的。
　　此外，商的符号还可用来判断商是否溢出。例如：

• 当[x]补与[y]补同号时，若[R0]补与[y]补同号，上商“1”，即溢出。
• 当[x]补与[y]补异号时，若[R0]补与[y]补异号，上商“0”，即溢出。

　　当然，对于小数补码运算，商等于“-1”应该是允许的，但这需要特殊处理，为简化问题，这里不予考虑。

举个例子：
例：已知：x=-0.1001, y=+0.1101 求： [x÷y]补
　　解：[x]补=1.0111,[y]补=0.1101,[-y]补=1.0011

所以[x÷y]补=1.0101

参照

本小节参见：
原码、补码的除法运算yyyloki的博客-CSDN博客原码除法
福建师范大学网络教育学院网络课程《计算机组成原理》WEB教程

浮点四则运算

浮点加减运算

首先我们需要知道浮点数的形式：
x = S r j
由于浮点数尾数的小数点均固定在第一数值位前，尾数的加减运算规则与定点数完全相同。但由于其阶码的大小又直接反映尾数有效值的小数点位置，因此当两浮点数阶码不等时，因两尾数小数点的实际位置不一样，尾数部分无法直接进行加减运算。因此，浮点数加减运算必须按以下n步进行：
①对阶：使两数的小数点位置对齐。
　　②尾数求和：将对阶后的两尾数按定点加减运算规则求和(差)。
　　③规格化：为增加有效数字的位数，提高运算精度，必须将求和(差)后的尾数规格化。
　　④舍入：为提高精度，要考虑尾数右移时丢失的数值位。
　　⑤*判断结果：即判断结果是否溢出。

对阶

对阶的目的是使两操作数的小数点位置对齐，即使两数的阶码相等。为此，首先要求出阶差，再按小阶向大阶看齐的原则，使阶小的尾数向右移位，每右移一位，阶码加1，直到两数的阶码相等为止。右移的次数正好等于阶差。尾数右移时可能会发生数码丢失，影响精度。
例如，两浮点数x＝0.1101×201，y=(-0.1010)×211，求x+y。
很明显这里y的阶码比较大，所以这里需要转换的是x的阶码，由01变为11，也就是从1变成了3，尾数应该右移两位，所以0.1101变为0.0011。此时x＝0.0011×211。

尾数求和

将对阶后的两个尾数按定点加(减)运算规则进行运算。
　　如上例中的两数对阶后得：
　　[x]补=00,11;00.0011
　　[y]补=00,11;11.0110
　　则[Sx+Sy]补=00.0011+11.0110=11.1001
　　即[x+y]补=00,11;11.1001

规格化

　　由第二章可知，尾数S的规格化形式为

如果采用双符号位的补码，则

1. 当S>0时，其补码规格化形式为：[S]补=00.1××…×
2. 当S<0时，其补码规格化形式为：[S]补=11.0××…×

对S<0时，有两种情况需特殊处理。
　　①S=-1/2，则[S]补=11.100…0。对于补码而言，它不满足于上面的规格化表示式。为了便于硬件判断，特规定-1/2是规格化的数(对补码而言)。
　　②S=-1，则[S]补=11.000…0。因小数补码允许表示-1，故**-1**视为规格化的数。

规格化又分左规和右规两种。
　　（1）左规。当尾数出现00.0××…×或11.1××…×时，需左规。左规时尾数左移一位，阶码减1，直到符合补码规格化表示式为止。
　　如上例求和结果为6
　　[x+y]补=00,11;11.1001
　　尾数的第一数值位与符号位相同，需左规，即将其左移一位，同时阶码减1，得[x+y]补=00,10;11.0010。
　　（2）右规。当尾数出现01.××…×或10.××…×时，表示尾数溢出，这在定点加减运算中是不允许的，但在浮点运算中这不算溢出，可通过右规处理。右规时尾数右移一位，阶码加1。

舍入

在对阶和右规的过程中，可能会将尾数的低位丢失，引起误差，影响了精度，为此可用舍入法来提高尾数的精度。常用的舍入方法有三种。
（1）截去法：将多余的位截去，剩下的位不变。其最大误差接近于数据最低位上的1。

特点：有舍无入，具有误差积累。

（2）“0舍1入”法：“0舍1入”法类似于十进制运算中的“四舍五入”法，即在尾数右移时，被移去的最高数值位为0，则舍去；被移去的最高数值位为1，则在尾数的末位加1。这样做可能使尾数又溢出，此时需再做一次右规。

特点：其最大误差是最低位上的-1/2到接近于1/2之间，正误差可以和负误差抵消。是比较理想的方法，但实现起来比较复杂。

（3）“恒置1”法：尾数右移时，不论丢掉的最高数值位是“1”或“0”，都使右移后的尾数末位恒置“1”。这种方法同样有使尾数变大和变小的两种可能。

特点：尽管误差范围扩大了，但正负误差可以相互抵消，从统计角度，平均误差为0。因此最后运算结果的准确性提高了。

判断溢出

• 阶码[j]补=01，××…×为上溢。
• 阶码[j]补=10，××…×为下溢，按机器零处理。

  阶符为“01”时，需做溢出处理。

完整运算

浮点乘除运算

两个浮点数相乘，其乘积的阶码应为相乘两数的阶码之和，其乘积的尾数应为相乘两数的尾数之积。
两个浮点数相除，商的阶码为被除数的阶码减去除数的阶码，其尾数为被除数的尾数除以除数的尾数所得的商。
步骤如下：

1. 阶码运算
2. 尾数运算
3. 规格化

运算规则同定点数运算，看例题即可：
乘法运算：

除法运算：