number theory数论

康托展开

康托展开是一个全排列到一个自然数的双射，常用于构建哈希表时的空间压缩。 康托展开的实质是计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序，因此是可逆的。

以下称第 x 个全排列都是指由小到大的顺序。

例如，3 5 7 4 1 2 9 6 8 展开为 98884。
因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.
排列的第一位是3，比3小的数有两个，以这样的数开始的排列有8!个，
因此第一项为2*8!
排列的第二位是5，比5小的数有1、2、3、4，由于3已经出现，因此共有3个比5小的数，这样的排列有7!个，
因此第二项为3*7!
以此类推，直至0*0!

康托展开的逆运算

既然康托展开是一个双射，那么一定可以通过康托展开值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

如n=5,x=96时：
首先用96-1得到95，说明x之前有95个排列.(将此数本身减去1)
用95去除4! 得到3余23，说明有3个数比第1位小，所以第一位是4.
用23去除3! 得到3余5，说明有3个数比第2位小，所以是4，但是4已出现过，因此是5.
用5去除2!得到2余1，类似地，这一位是3.
用1去除1!得到1余0，这一位是2.
最后一位只能是1.
所以这个数是45321
// 下面做一下验算
3 * 4! + 3 * 3! + 2 * 2! + 1 * 1! + 0 * 0! = 72 + 18 + 4 + 1 = 95
排名 95 + 1 = 96

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