KKT条件

文章结构如下：
1： 等式约束优化问题
2： 不等式约束优化问题
3： 一个例子

注：本文来自台湾周志成老师《线性代数》及其博客 Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件是非线性规划(nonlinear programming)最佳解的必要条件。KKT条件将Lagrange乘数法(Lagrange multipliers)所处理涉及等式的约束优化问题推广至不等式。在实际应用上，KKT条件(方程组)一般不存在代数解，许多优化算法可供数值计算选用。这篇短文从Lagrange乘数法推导KKT条件并举一个简单的例子说明解法。

1： 等式约束优化问题

给定一个目标函数 ，我们希望找到 ，在满足约束条件 的前提下，使得 有最小值。这个约束优化问题记为

为方便分析，假设 与 是连续可导函数。Lagrange乘数法是等式约束优化问题的典型解法。定义Lagrangian函数

其中 称为Lagrange乘数。Lagrange乘数法将原本的约束优化问题转换成等价的无约束优化问题

计算 对 与 的偏导数并设为零，可得最优解的必要条件：

其中第一式为定常方程式(stationary equation)，第二式为约束条件。解开上面 个方程式可得 的stationary point 以及 的值(正负数皆可能)。

2： 不等式约束优化问题

接下来我们将约束等式 推广为不等式 。考虑这个问题

约束不等式 称为原始可行性(primal feasibility)，据此我们定义可行域(feasible region) 。假设 为满足约束条件的最佳解，分开两种情况讨论：
(1) ，最佳解位于 的内部，称为内部解(interior solution)，这时约束条件是无效的(inactive)；
(2) ，最佳解落在 的边界，称为边界解(boundary solution)，此时约束条件是有效的(active)。
这两种情况的最佳解具有不同的必要条件。
(1)内部解：在约束条件无效的情形下， 不起作用，约束优化问题退化为无约束优化问题，因此驻点 满足 且 。
(2)边界解：在约束条件有效的情形下，约束不等式变成等式 ，这与前述Lagrange乘数法的情况相同。我们可以证明驻点 发生于 ，换句话说，存在 使得 ，但这里 的正负号是有其意义的。因为我们希望最小化 ，梯度 (函数 在点 的最陡上升方向)应该指向可行域 的内部(因为你的最优解最小值是在边界取得的)，但 指向 的外部(即 的区域，因为你的约束是小于等于0)，因此 ，称为对偶可行性(dual feasibility)。
因此，不论是内部解或边界解， 恒成立，称为互补松弛性(complementary slackness)。整合上述两种情况，最佳解的必要条件包括Lagrangian函数 的定常方程式、原始可行性、对偶可行性，以及互补松弛性：

这些条件合称为Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件。如果我们要最大化 且受限于 ，那么对偶可行性要改成 。
上面结果可推广至多个约束等式与约束不等式的情况。考虑标准约束优化问题(或称非线性规划)：

定义Lagrangian 函数

其中 是对应 的Lagrange乘数， $是对应 的Lagrange乘数(或称KKT乘数)。KKT条件包括
注：感谢评论区 追梦的lin 提出，在使用KKT条件时需要满足Regularity conditions (or constraint qualifications)，维基在第三部分有了介绍：> Karush-Kuhn-Tucker conditions 。比较常见的是Linearity constraint qualification (LCQ)，即约束条件是仿射函数。

3： 一个例子

考虑这个问题

其中 为实数。写出Lagrangigan函数

KKT 方程组如下：

求偏导可得 且 ，分别解出 且 。代入约束等式 或 。合并上面结果，

最后再加入约束不等式 或 。底下分开三种情况讨论。
(1) ：不难验证 满足所有的KKT条件，约束不等式是无效的， 是内部解，目标函数的极小值是 。
(2) ：如同1， 满足所有的KKT条件， 是边界解，因为 。
(3) ：这时约束不等式是有效的， ，则 且 ，目标函数的极小值是 。

4： 参考文献

周志成：《线性代数》，国立交通大学出版社
Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件