一、什么是博弈论？

博弈论(Game Theory)是相互依存情况中的理性行为的数学建模。博弈由这几个要素构成：

  • 玩家(Players)：博弈的参与者
  • 策略(Strategy)：博弈玩家各自的操作
  • 收益(Payoff)：博弈玩家的收益，一般用矩阵来表示，在连续的时候也会写成函数。
  • 信息(Information)：博弈玩家知道的信息
  • 理性(Rationality)：博弈玩家是理性的，在竞争的情况下使自己的收益最大化

博弈论方法的本质——相互依存性：每一方的收益不仅依赖于自己的策略，同时也依赖其他参与方的策略。
博弈论研究的目标——均衡：因为博弈的参与方的策略改变会造成收益的变化，所以，各玩家会调整策略使自己的收益最大。在这样的情况下，一个“稳定”的策略选择是值得研究的。各个玩家选择了各自的策略之后，没有动机去改变当前的策略，就形成了稳定的状态。
定义是抽象的，还是用一些例子来找找感觉吧。

二、例子：囚徒困境

这个例子应该是众所周知。简要介绍一下：
两个共谋犯罪的人被关入监狱，不能互相沟通情况。①如果两个人都不揭发对方，则由于证据不确定，每个人都坐牢一年；②若一人揭发，而另一人沉默，则揭发者因为立功而立即获释，沉默者因不合作而入狱十二年；③若互相揭发，则因证据确凿，二者都判刑六年。
考察博弈的几个要素：

  1. 玩家：这两个犯罪的人，记为A、B
  2. 策略：二者的策略都是{揭发、沉默}
  3. 收益：用收益矩阵来表示

博弈论介绍 - 图1
囚徒困境收益矩阵
4. 信息：这种情况是完全信息的，即，每一参与者都拥有所有其他参与者的收益函数的准确信息。
剧透一下，囚徒困境的”均衡“，是二人都选择揭发的策略。

三、分类

  • 根据玩家数量分为：1人，2人，多人博弈
  • 根据“同时做决策”还是“轮流做决策”分为：策略式博弈(静态博弈)和扩展式博弈(动态博弈)、
  • 根据信息的了解情况分为：完全信息博弈和非完全信息博弈
  • 根据收益分为：零和博弈、非零和博弈
  • 合作、非合作博弈
  • 根据策略的数量分为：有限博弈和无限博弈

当然，上面的分类很杂，我们的课程主要讲了这几种：

  1. 完全信息策略式博弈
  2. 非完全信息策略式博弈
  3. 完全信息扩展式博弈
  4. 非完全信息扩展式博弈

  5. 重复博弈

    四、小结

    博弈论很有趣的，你会发现很多意想不到的结果。不过，由于博弈论假设每个玩家都是“理性”的，而现实生活却不一定是这样，因此，很多情况下博弈论给出的结论只是一个理论上的参考。
    有一些有意思的小例子，算是智力小测试了，感兴趣可以看看：

  6. Nim博弈：有一堆硬币，总个数是N；有2个玩家，轮流取硬币。每次可以选择取1枚或2枚。取到最后一枚硬币的人获胜。请问先手有必胜策略还是后手？(和N有关)

  7. 海盗博弈：这个更有意思一些