二、混合策略博弈及其纳什均衡

一、引言

前面，我们学习了策略式博弈的纳什均衡。每个玩家可选的策略也叫纯策略。在前面讲的纳什均衡中，每个玩家都要选定一个纯策略。但有的时候并不能找到一个纯策略的纳什均衡，举例如下：

没有纯策略纳什均衡
还有一个常见的例子：石头剪刀布，就没有纯策略的纳什均衡。
这个时候，需要引入新的概念——混合策略。

二、混合策略博弈

以石头剪刀布为例，无论双方采用哪种策略组合，输的一方总可以改变策略使自己反败为胜，因此没有纯策略的纳什均衡。通过引入“随机性”来解决这个问题。
通俗地解释，混合策略就是在纯策略上加上概率，在一次博弈中，玩家随机地选择一种纯策略。

1. 混合策略

1)纯策略

在前面的一节学习了纯策略的表示：玩家i的策略集，纯策略。

2)混合策略

混合策略是给每个纯策略分配一个概率，一个玩家的策略集就是一个“样本空间”。
用表示上的概率分布，即：
那么，混合策略

3)混合策略博弈结果

混合策略博弈的博弈结果
定义，则

2. 期望收益

在这样一个“随机”的博弈中，收益如何计算呢？这就需要计算期望的收益了。期望的收益就是纯策略的博弈结果的收益乘上这个结果出现的概率，对每个博弈结果进行求和。
给定一个策略式博弈和一个混合策略博弈结果，玩家的期望收益是

(假设每个玩家的决策是独立的，因此是每个玩家的相应策略的概率乘积)

3. 形式化——混合策略博弈

4. 例子

在下面的博弈中，假设是策略U和策略L的概率，那么：

三、混合策略纳什均衡

1. 定义：混合策略纳什均衡(MNE)

一个混合策略博弈结果是一个混合策略纳什均衡(mixed strategy Nash equilibrium)，当对于每个玩家，都有：

通俗地解释就是：每个玩家都选择在对手不改变的情况下的最好的分布
简写为：MNE

2. 最优反应

玩家的最优反应
定理：是MNE当且仅当对于所有的，

3. 存在性：纳什定理

定理：有限的策略式博弈一定存在混合策略纳什均衡
有限指：有限的玩家，每个玩家都有有限种纯策略。

4、求解混合策略纳什均衡

定理：是MNE当且仅当玩家的每个具有正概率的纯策略都是的最优反应。(证明略)
也就是说，玩家选任意一种纯策略的期望收益是相同的。
用这个定理来求解MNE

例子

设玩家1选择U的概率是，玩家2选择L的概率是
由玩家2选L的期望收益等于玩家2选R的期望收益，得式子：

由玩家1选U的期望收益等于玩家1选D的期望收益，得式子：

解得：
因此求得纳什均衡

解释

“玩家选任意一种纯策略的期望收益是相同的”也可以这么想：如果玩家的纯策略的期望收益不同的话，那么 他会一直选期望收益高的那个，也就是选择一个纯策略，而不是混合策略。这样就回到了纯策略博弈的时代，开篇的例子又说明了有些博弈是找不到纯策略的均衡的。
因此，如果想保持一种”稳定“的局面，每个玩家都没有动机改变当前的策略(或分布)，就要保证它选择每个策略的期望收益都相同。

四、小结

本篇内容有：

• 混合策略博弈的定义
• 混合策略纳什均衡的定义及求解