70. 爬楼梯(Climbing Stairs)

来源

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：
输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

题解

递归

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (1 == n) return 1;
        if (2 == n) return 2;
        return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
    }
}

此方法，超时！
复杂度分析

• 时间复杂度：，此种计算方式会出现大量冗余；
• 空间复杂度：，递归树的深度可以达到n；

  动态规划

  这个问题可以被分解为一些包含最优子结构的子问题，即它的最优解可以从其子问题的最优解来有效地构建，我们可以使用动态规划来解决这一问题。

第阶可以由以下两种方法得到：

• 在第阶后向上爬1阶；

• 在第阶后向上爬2阶；

  所以到达第阶的方法总数就是到第阶和第阶的方法之和，

  class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (1 == n) return 1;
  
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
  
        return dp[n];
    }
  }
  

  复杂度分析

• 时间复杂度：，单循环到；

• 空间复杂度：，dp数组用了的空间；

  斐波那切数列

  将动态规划方法中的空间复杂度优化到

  class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (1 == n) return 1;
  
        int first = 1;
        int second = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int third = first + second;
            first = second;
            second = third;
        }
  
        return second;
    }
  }
  

  复杂度分析

• 时间复杂度：，单循环到n，需要计算第n个斐波那契数；

• 空间复杂度：，使用常量级空间；