一、题目

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

点击查看原题

二、思路

1）动态规划

由于每种硬币是无限量的，所以每种硬币可能有k个，满足k*coins[i] <=amount，如果使用暴力法进行求解，对于找零值为amount-k*coins[i]的组合数量会反复求解，为了把这个子问题记录下来，使用二维数组dp[i][j]代表前i个硬币组成金额j的组合数量，可以得到状态转移方程（第i个硬币是coins[i-1]）：

如此，dp[coins.length][amount]为所求解。

2）优化

由于dp[i][j]的状态指依赖于i-1的状态，可以进一步优化时间和空间。
考虑到coins[i]可以使用多次，那么可以使用当前的状态，状态转移方程为：

其中的dp[j-coins[i]]也包括了选了多个coins[i]的组合数。

三、代码

1）动态规划

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1];
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            int coin = coins[i-1];
            for (int j = 0; j <= amount; j++) {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                int sumCoin = coin;
                while (j >= sumCoin) {
                    dp[i][j] += dp[i-1][j-sumCoin];
                    sumCoin += coin;
                }
            }
        }
        return dp[coins.length][amount];
    }
}

时间复杂度为O(amount````*coins.length)，空间复杂度为O(amount``*coins.length)

2）优化

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount+1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

时间复杂度为O(amount``*coins.length)，空间复杂度为O(amount``)