一、题目

最初记事本上只有一个字符 ‘A’ 。你每次可以对这个记事本进行两种操作：

  • Copy All（复制全部）：复制这个记事本中的所有字符（不允许仅复制部分字符）。
  • Paste（粘贴）：粘贴 上一次 复制的字符。

给你一个数字 n ，你需要使用最少的操作次数，在记事本上输出 恰好 n 个 ‘A’ 。返回能够打印出 n 个 ‘A’ 的最少操作次数。

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难度级别： 中等

二、思路

1）动态规划

题中给出的操作，只能使用复制和粘贴两种操作，且每次复制都只能复制所有字符串
直观地想到，n个字符，如果存在一个数字j，使得n%j==0，那么只需要复制一次+粘贴j长度的字符n/j次就可以。也就是n=j*(n/j)，观察本式子，可以发现，j与n/j都是n的因数
让dp[i]代表i个字符最少需要进行的操作次数，那么需要循环从1到i-1，找到最小的dp[j]+i/j
优化：
由于j与n/j都是n的因数，可以以sqrt(i)作为分界线，每次进行两个运算，分别是dp[j]+i/j和dp[i/j]+j

三、代码

1）动态规划

  1. class Solution {
  2.     public int minSteps(int n) {
  3.         int[] dp = new int[n+1];
  4.         for (int i = 2; i <= n; i++) {
  5.             dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
  6.             for (int j = 1; j <= i; j++) {
  7.                 if (i % j == 0) {
  8.                     dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + i/j);
  9.                 }
  10.             }
  11.         }
  12.         return dp[n];
  13.     }
  14. }
  1. 时间复杂度为`O(n^2)`，空间复杂度为`O(n)`<br />优化后：
  1. class Solution {
  2.     public int minSteps(int n) {
  3.         int[] dp = new int[n+1];
  4.         for (int i = 2; i <= n; i++) {
  5.             dp[i] = Integer.MAX_VALUE;
  6.             for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
  7.                 if (i % j == 0) {
  8.                     dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j] + i/j);
  9.                     dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i/j] + j);
  10.                 }
  11.             }
  12.         }
  13.         return dp[n];
  14.     }
  15. }
  1. 时间复杂度为`O(n*sqrt(n))`，空间复杂度为`O(n)`