层次聚类

机器学习 层次聚类
聚类属于机器学习的无监督学习，而且也分很多种方法，比如大家熟知的有K-means。层次聚类也是聚类中的一种，也很常用。下面先简单回顾一下K-means的基本原理，然后慢慢引出层次聚类的定义和分层步骤，这样更有助于大家理解。

层次聚类和K-means有什么不同？

K-means 工作原理可以简要概述为：

• 决定簇数（k）
• 从数据中随机选取 k 个点作为质心
• 将所有点分配到最近的聚类质心
• 计算新形成的簇的质心
• 重复步骤 3 和 4

这是一个迭代过程，直到新形成的簇的质心不变，或者达到最大迭代次数。
但是 K-means 是存在一些缺点的，必须在算法开始前就决定簇数 K 的数量，但实际并不知道应该有多少个簇，所以一般都是根据自己的理解先设定一个值，这就可能导致理解和实际情况存在一些偏差。
层次聚类完全不同，它不需要开始的时候指定簇数，而是先完整的形成整个层次聚类后，通过决定合适的距离，自动就可以找到对应的簇数和聚类。

什么是层次聚类？

下面由浅及深的介绍什么是层次聚类，先来一个简单的例子。
假设有以下几点，将它们分组：

可以将这些点中的每一个分配给一个单独的簇，就是4个簇（4种颜色）：

然后基于这些簇的相似性（距离），将最相似的（距离最近的）点组合在一起并重复这个过程，直到只剩下一个集群：

上面本质上就是在构建一个层次结构。先了解到这里，后面详细介绍它的分层步骤。

层次聚类的类型

主要有两种类型的层次聚类：

• 凝聚层次聚类

• 分裂层次聚类

  凝聚层次聚类

  先让所有点分别成为一个单独的簇，然后通过相似性不断组合，直到最后只有一个簇为止，这就是凝聚层次聚类的过程，和上面刚刚说的一致。

  分裂层次聚类

  分裂层次聚类正好反过来，它是从单个集群开始逐步分裂，直到无法分裂，即每个点都是一个簇。
  所以无论是 10、100、1000 个数据点都不重要，这些点在开始的时候都属于同一个簇：
  
  现在，在每次迭代中拆分簇中相隔最远的两点，并重复这个过程，直到每个簇只包含一个点：
  
  上面的过程就是分裂层次聚类。

  执行层次聚类的步骤

  上面已经说了层次聚类的大概过程，那关键的来了，如何确定点和点的相似性呢？
  这是聚类中最重要的问题之一了，一般计算相似度的方法是：计算这些簇的质心之间的距离。距离最小的点称为相似点，可以合并它们，也可以将其称为基于距离的算法。
  另外在层次聚类中，还有一个称为邻近矩阵的概念，它存储了每个点之间的距离。下面通过一个例子来理解如何计算相似度、邻近矩阵、以及层次聚类的具体步骤。

  案例介绍

  假设一位老师想要将学生分成不同的组。现在有每个学生在作业中的分数，想根据这些分数将他们分成几组。关于拥有多少组，这里没有固定的目标。由于老师不知道应该将哪种类型的学生分配到哪个组，因此不能作为监督学习问题来解决。下面，将尝试应用层次聚类将学生分成不同的组。
  下面是个5名学生的成绩：
  

  创建邻近矩阵

  首先，要创建一个邻近矩阵，它储存了每个点两两之间的距离，因此可以得到一个形状为 n X n 的方阵。
  这个案例中，可以得到以下 5 x 5 的邻近矩阵：
  
  矩阵里有两点需要注意下：

• 矩阵的对角元素始终为 0，因为点与其自身的距离始终为 0

• 使用欧几里得距离公式来计算非对角元素的距离

比如，要计算点 1 和 2 之间的距离，计算公式为：
同理，按此计算方法完成后填充邻近矩阵其余元素。

执行层次聚类

这里使用凝聚层次聚类来实现。
步骤 1：首先，将所有点分配成单个簇：

这里不同的颜色代表不同的簇，数据中的 5 个点，即有 5 个不同的簇。
步骤2：接下来，需要查找邻近矩阵中的最小距离并合并距离最小的点。然后更新邻近矩阵：
最小距离是 3，因此将合并点 1 和 2：

让看看更新的集群并相应地更新邻近矩阵：

更新之后，取了1、2 两个点中值 (7, 10) 最大的来替换这个簇的值。当然除了最大值之外，还可以取最小值或平均值。然后，将再次计算这些簇的邻近矩阵：

第 3 步：重复第 2 步，直到只剩下一个簇。
重复所有的步骤后，将得到如下所示的合并的聚类：

这就是凝聚层次聚类的工作原理。但问题是仍然不知道该分几组？是2、3、还是4组呢？
下面开始介绍如何选择聚类数。

如何选择聚类数？

为了获得层次聚类的簇数，使用了一个概念，叫作树状图。
通过树状图，可以更方便的选出聚类的簇数。
回到上面的例子。当合并两个簇时，树状图会相应地记录这些簇之间的距离并以图形形式表示。下面这个是树状图的原始状态，横坐标记录了每个点的标记，纵轴记录了点和点之间的距离：

当合并两个簇时，将会在树状图中连接起来，连接的高度就是点之间的距离。下面是刚刚层次聚类的过程。

然后开始对上面的过程进行树状图的绘制。从合并样本 1 和 2 开始，这两个样本之间的距离为 3。

可以看到已经合并了 1 和 2。垂直线代表 1 和 2 的距离。同理，按照层次聚类过程绘制合并簇类的所有步骤，最后得到了这样的树状图：

通过树状图，可以清楚地形象化层次聚类的步骤。树状图中垂直线的距离越远代表簇之间的距离越大。
有了这个树状图，决定簇类数就方便多了。
现在可以设置一个阈值距离，绘制一条水平线。比如将阈值设置为 12，并绘制一条水平线，如下：

从交点中可以看到，聚类的数量就是与阈值水平线与垂直线相交的数量（红线与 2 条垂直线相交，将有 2 个簇）。与横坐标相对应的，一个簇将有一个样本集合为 (1,2,4)，另一个集群将有一个样本集合 (3,5)。
这样，就通过树状图解决了分层聚类中要决定聚类的数量。

Python代码实战案例

上面是理论基础，有点数学基础都能看懂。下面介绍下在如何用代码Python来实现这一过程。这里拿一个客户细分的数据来展示一下。
数据集和代码在这里：https://github.com/xiaoyusmd/PythonDataScience
这个数据来源于UCI 机器学习库。目的是根据批发分销商的客户在不同产品类别（如牛奶、杂货、地区等）上的年度支出，对他们进行细分。
首先对数据进行一个标准化，为了让所有数据在同一个维度便于计算，然后应用层次聚类来细分客户。

from sklearn.preprocessing import normalize
data_scaled = normalize(data)
data_scaled = pd.DataFrame(data_scaled, columns=data.columns)
import scipy.cluster.hierarchy as shc
plt.figure(figsize=(10, 7))  
plt.title("Dendrograms")  
dend = shc.dendrogram(shc.linkage(data_scaled, method='ward'))

x 轴包含了所有样本，y 轴代表这些样本之间的距离。距离最大的垂直线是蓝线，假如决定要以阈值 6 切割树状图：

plt.figure(figsize=(10, 7))  
plt.title("Dendrograms")  
dend = shc.dendrogram(shc.linkage(data_scaled, method='ward'))
plt.axhline(y=6, color='r', linestyle='--')

现在有两个簇了，要对这 2 个簇应用层次聚类：

from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering
cluster = AgglomerativeClustering(n_clusters=2, affinity='euclidean', linkage='ward')  
cluster.fit_predict(data_scaled)

由于定义了 2 个簇，因此可以在输出中看到 0 和 1 的值。0 代表属于第一个簇的点，1 代表属于第二个簇的点。

plt.figure(figsize=(10, 7))  
plt.scatter(data_scaled['Milk'], data_scaled['Grocery'], c=cluster.labels_)

到这里就成功的完成了聚类。