时间序列
移动平均在时间序列分析中具有重要的作用。

1、简介

移动平均（moving average）主要应用于时间序列的分析，其能够去除不同时间步长的序列间的微小差异。
移动平均的目的是去除噪声。
移动平均需要指定一个窗口大小（window size），称为窗口宽度（window width）。这定义了用于计算移动平均值的原始观测值的数量。
移动是指由窗宽定义的窗口沿时间序列滑动，计算新序列的平均值。
移动平均主要有两种形式：居中和截尾移动平均（Centered and Trailing Moving Average）。
居中移动平均
t 时刻的值计算由原始观测值在 t 时刻、之前和之后的平均值。
假设窗口为3，则：

  1. center_ma(t) = mean(obs(t-1),obs(t),obs(t+1))

这个方法需要用到未来值。可以作为一种从时间序列中去除趋势和季节成分的通用方法，而在预测时通常不能使用这种方法。
截尾移动平均
t 时刻的值计算由原始观测值在 t 时刻以及之前的平均值。
假设窗口为3，则：

  1. trail_ma(t) = mean(obs(t-2),obs(t-1),obs(t))

这个方法只用到历史数据，并可以用于时间序列预测。
本文主要侧重于截尾移动平均。
在应用移动平均时，需要对数据提出一些假设。假设趋势和季节成分已经从时序中去除。意味着数据是平稳的（stationary）或者未显示出明显的趋势（长期增长或下降）和季节性（一致的周期性结构）。
在时序数据预测时，有很多方法可以去除趋势和季节性，主要有差分法（differencing method）和建立行为模型，并显式地从序列中减去它。
接下来从三个面讲解截尾平均移动的应用。

2、移动平均的应用

2.1 数据准备

数据集是总共有365条记录，数据记录的是1959年加州每日出生的女婴数量。
显示数据的前5条记录：
Date,Births
1959/1/1,35
1959/1/2,32
1959/1/3,30
1959/1/4,31
1959/1/5,44
移动平均可以作为一种数据准备技术来创建原始数据集的平滑版本。
平滑（smoothing）是一种有用的数据准备技术，因为它可以减少观测中的随机变化。
pandas 中的 rolling() 函数可以自动根据窗口大小对观测数据进行移动平均。
假设窗口大小为3，则 t 时刻的转换值等于前三个观测值（t-2,t-1,t）的均值。

  1. trans_obs(t) = 1/3 * ( obs(t-2) + obs(t-1) + obs(t) )

现在开始正式分析：

  1. # 引入相关的包
  2. import pandas as pd  # 表格和数据操作
  3. import matplotlib.pyplot as plt
  4. import numpy as np
  5. from sklearn.metrics import mean_squared_error
  7. # -------------------------------------------------------------------------------------
  8. # 读入数据
  9. birth = pd.read_csv(r'./test/daily-total-female-births.csv', index_col=['Date'], parse_dates=['Date'])
  10. birth.info()
  11. birth.head()
  12. plt.figure(figsize=(15, 7))
  13. plt.plot(birth)

image.png
从上图可以看出，这个数据集是研究移动平均方法的一个很好的例子，因为它没有显示任何明显的趋势或季节性。
下面是在窗口大小为3 的情况下的移动平均值。

  1. window = 3
  2. # trail-rolling average transform
  3. rolling = birth.rolling(window=window)
  4. rolling_mean = rolling.mean()
  5. plt.figure(figsize=(15, 7))
  6. plt.plot(birth)
  7. plt.plot(rolling_mean, 'r')

image.png
从图中可以看出，原始观测值（蓝色）被移动平均转换值（红色）覆盖。

  1. rolling_mean.head()
  3.                Births
  4. Date
  5. 1959-01-01        NaN
  6. 1959-01-02        NaN
  7. 1959-01-0332.333333
  8. 1959-01-0431.000000
  9. 1959-01-0535.000000

移动平均值的前两个观测值是 NaN，因为前两个观测值的时间点在移动时缺少前面时刻的数据。这两个转换值需被删除。

2.2 特征工程

当建立时序预测模型可以被看做为监督学习问题时，移动平均可以作为新信息的来源。
在本例中移动平均计算得到的值可以作为一个新的特征。

  1. lag1 = birth.shift(1)
  2. lag3 = birth.shift(3)
  3. lag3_mean = lag3.rolling(window=window).mean()
  4. df = pd.concat([lag3_mean, lag1, lag3], axis=1)
  5. df.columns = ['lag3_mean', 't-1', 't-3']
  7. df.head()

这里的 df 相当于是特征，本例中有三个特征，当把时序预测模型看做是监督问题时，此时的 Y 就是原始观测值 (Births)：

  1.                   lag3_mean   t-1   t-3  Births
  2. Date
  3. 1959-01-01        NaN   NaN   NaN      35
  4. 1959-01-02        NaN  35.0   NaN      32
  5. 1959-01-03        NaN  32.0   NaN      30
  6. 1959-01-04        NaN  30.035.031
  7. 1959-01-05        NaN  31.032.044
  8. 1959-01-0632.33333344.030.029

在建模时，将有NaN的行删除后再建模。

2.3 预测

移动平均值可以直接看做是预测值。
这是一个最基础的模型，其假设时间序列的趋势和季节性成分已经被删除或调整。
移动平均作为预测模型是直接向前走的形式，当有新的观测值，则这个模型会更新并预测。

  1. # prepare situation
  2. X = birth.values
  3. history = [X[i] for i in range(window)]
  4. test = [X[i] for i in range(window, len(X))]
  5. predictions = []
  7. # walk forward over time steps in test
  8. for t in range(len(test)):
  9.     length = len(history)
  10.     yhat = np.mean([history[i] for i in range(length - window, length)])
  11.     predictions.append(yhat)
  12.     history.append(test[t])
  13.     print('predicted=%f, excepted=%f' % (yhat, test[t]))
  15. error = mean_squared_error(test, predictions)
  16. print('Test MSE: %3f' % error)
  17. plt.figure(figsize=(15, 7))
  18. plt.plot(test)
  19. plt.plot(predictions, 'r')

image.png

3、附录-数据文件和代码

daily-total-female-births.csv
TimeSequence.ipynb