二分查找

二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

时间复杂度为 O(logn)

我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。

O(logn) 这种对数时间复杂度。这是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效.

因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。

二分查找的递归与非递归实现

循环实现

注意容易出错的 3 个地方

1. 循环退出条件注意是 low<=high，而不是low<high
2. mid 的取值实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
3. low 和 high 的更新low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出。 ```

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0; int high = n - 1;

while (low <= high) { int mid = low + ((high - low) >> 1); if (a[mid] == value) { return mid; } else if (a[mid] < value) { low = mid + 1; } else { high = mid - 1; } }

return -1; }

递归实现

// 二分查找的递归实现 public int bsearch(int[] a, int n, int val) { return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val); }

private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) { if (low > high) return -1;

int mid = low + ((high - low) >> 1); if (a[mid] == value) { return mid; } else if (a[mid] < value) { return bsearchInternally(a, mid+1, high, value); } else { return bsearchInternally(a, low, mid-1, value); } } ```

二分查找应用场景的局限性

1. 二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。

数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

1. 二分查找针对的是有序数据

二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。

1. 数据量太小或太大都不适合二分查找

太小的数据量, 顺序遍历就足够了, 这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。

数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。