数据结构是一组数据的存储结构, 算法是一组数据的操作方法.

大O表示法

代码的执行时间与每行代码的执行次数成正比, 即T(n)=f(n)*unitTime, f(n)表示代码的执行次数, 是一个函数, unitTime表示每行代码的单位执行时间

大O表示法:
入门篇-复杂度分析 - 图1

  • T(n) 我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；
  • n 表示数据规模的大小；
  • f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。
  • 公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了.

时间复杂度分析

  1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
  2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

如下示例的复杂度是O(n2)

  2. int cal(int n) {
  3.    int sum_1 = 0;
  4.    int p = 1;
  5.    for (; p < 100; ++p) {
  6.      sum_1 = sum_1 + p;
  7.    }
  9.    int sum_2 = 0;
  10.    int q = 1;
  11.    for (; q < n; ++q) {
  12.      sum_2 = sum_2 + q;
  13.    }
  15.    int sum_3 = 0;
  16.    int i = 1;
  17.    int j = 1;
  18.    for (; i <= n; ++i) {
  19.      j = 1; 
  20.      for (; j <= n; ++j) {
  21.        sum_3 = sum_3 +  i * j;
  22.      }
  23.    }
  25.    return sum_1 + sum_2 + sum_3;
  26.  }
  1. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

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常见的时间复杂度

入门篇-复杂度分析 - 图2
可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：O(2n) 和 O(n!)。

我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题。当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法.

1. O(1)

一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

  2.  int i = 8;
  3.  int j = 6;
  4.  int sum = i + j;

2. O(logn)、O(nlogn)

通过 2x=n 求解 x , x=log2n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log2n)。

  2.  i=1;
  3.  while (i <= n)  {
  4.    i = i * 2;
  5.  }

很简单就能看出来，这段代码的时间复杂度为 O(log3n)。

对数之间是可以互相转换的，log3n 就等于 log32 log2n，所以 O(log3n) = O(C log2n)，其中 C=log32 是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(Cf(n)) = O(f(n))。所以，O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

  2.  i=1;
  3.  while (i <= n)  {
  4.    i = i * 3;
  5.  }


3. O(m+n)、O(m*n)

下面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

  2. int cal(int m, int n) {
  3.   int sum_1 = 0;
  4.   int i = 1;
  5.   for (; i < m; ++i) {
  6.     sum_1 = sum_1 + i;
  7.   }
  9.   int sum_2 = 0;
  10.   int j = 1;
  11.   for (; j < n; ++j) {
  12.     sum_2 = sum_2 + j;
  13.   }
  15.   return sum_1 + sum_2;
  16. }

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。
类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

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我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。

示例: 第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

  2. void print(int n) {
  3.   int i = 0;
  4.   int[] a = new int[n];
  5.   for (i; i <n; ++i) {
  6.     a[i] = i * i;
  7.   }
  9.   for (i = n-1; i >= 0; --i) {
  10.     print out a[i]
  11.   }
  12. }

复杂度对比

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。

入门篇-复杂度分析 - 图3

最好, 最坏情况时间复杂度

最好情况时间复杂度就是，在最理想的情况下，执行这段代码的时间复杂度。
下面示例代码, 在最理想的情况下，要查找的变量 x 正好是数组的第一个元素，这个时候对应的时间复杂度就是最好情况时间复杂度。时间复杂度就是 O(1)

同理，最坏情况时间复杂度就是，在最糟糕的情况下，执行这段代码的时间复杂度。
下面示例代码, 如果数组中没有要查找的变量 x，我们需要把整个数组都遍历一遍才行，所以这种最糟糕情况下对应的时间复杂度就是最坏情况时间复杂度。时间复杂度就是 O(n)

  1. // n表示数组array的长度
  2. int find(int[] array, int n, int x) {
  3.   int i = 0;
  4.   int pos = -1;
  5.   for (; i < n; ++i) {
  6.     if (array[i] == x) {
  7.        pos = i;
  8.        break;
  9.     }
  10.   }
  11.   return pos;
  12. }

平均情况时间复杂度

要查找的变量 x 在数组中的位置，有 n+1 种情况：在数组的 0～n-1 位置中和不在数组中。我们把每种情况下，查找需要遍历的元素个数累加起来，然后再除以 n+1，就可以得到需要遍历的元素个数的平均值，即：入门篇-复杂度分析 - 图4
我们知道，时间复杂度的大 O 标记法中，可以省略掉系数、低阶、常量，所以，咱们把刚刚这个公式简化之后，得到的平均时间复杂度就是 O(n)。

我们刚讲的这 n+1 种情况，出现的概率并不是一样的。
我们知道，要查找的变量 x，要么在数组里，要么就不在数组里。这两种情况对应的概率统计起来很麻烦，为了方便你理解，我们假设在数组中与不在数组中的概率都为 1/2。另外，要查找的数据出现在 0～n-1 这 n 个位置的概率也是一样的，为 1/n。所以，根据概率乘法法则，要查找的数据出现在 0～n-1 中任意位置的概率就是 1/(2n)。
如果我们把每种情况发生的概率也考虑进去，那平均时间复杂度的计算过程就变成了这样：
入门篇-复杂度分析 - 图5
这个值就是概率论中的加权平均值，也叫作期望值，所以平均时间复杂度的全称应该叫加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。

引入概率之后，前面那段代码的加权平均值为 (3n+1)/4。用大 O 表示法来表示，去掉系数和常量，这段代码的加权平均时间复杂度仍然是 O(n)。

均摊时间复杂度

最理想的情况下，数组中有空闲空间，我们只需要将数据插入到数组下标为 count 的位置就可以了，所以最好情况时间复杂度为 O(1)。最坏的情况下，数组中没有空闲空间了，我们需要先做一次数组的遍历求和，然后再将数据插入，所以最坏情况时间复杂度为 O(n)。

假设数组的长度是 n，根据数据插入的位置的不同，我们可以分为 n 种情况，每种情况的时间复杂度是 O(1)。除此之外，还有一种“额外”的情况，就是在数组没有空闲空间时插入一个数据，这个时候的时间复杂度是 O(n)。而且，这 n+1 种情况发生的概率一样，都是 1/(n+1)。所以，根据加权平均的计算方法，我们求得的平均时间复杂度就是：

入门篇-复杂度分析 - 图6

  2.  // array表示一个长度为n的数组
  3.  // 代码中的array.length就等于n
  4.  int[] array = new int[n];
  5.  int count = 0;
  7.  void insert(int val) {
  8.     if (count == array.length) {
  9.        int sum = 0;
  10.        for (int i = 0; i < array.length; ++i) {
  11.           sum = sum + array[i];
  12.        }
  13.        array[0] = sum;
  14.        count = 1;
  15.     }
  17.     array[count] = val;
  18.     ++count;
  19.  }

针对这种特殊的场景，我们引入了一种更加简单的分析方法：摊还分析法，通过摊还分析得到的时间复杂度我们起了一个名字，叫均摊时间复杂度。

我们还是继续看在数组中插入数据的这个例子。每一次 O(n) 的插入操作，都会跟着 n-1 次 O(1) 的插入操作，所以把耗时多的那次操作均摊到接下来的 n-1 次耗时少的操作上，均摊下来，这一组连续的操作的均摊时间复杂度就是 O(1)。

对一个数据结构进行一组连续操作中，大部分情况下时间复杂度都很低，只有个别情况下时间复杂度比较高，而且这些操作之间存在前后连贯的时序关系，这个时候，我们就可以将这一组操作放在一块儿分析，看是否能将较高时间复杂度那次操作的耗时，平摊到其他那些时间复杂度比较低的操作上。而且，在能够应用均摊时间复杂度分析的场合，一般均摊时间复杂度就等于最好情况时间复杂度。