• 数学定义
  • 一个向量是一个数组（数字列表）。
• 几何定义
  • 一个向量是一个有大小和方向的有向线段。
• 大小
  • 向量的长度（模），非负 。
• 维度
  • 向量包含的“数”的数目。

标量，是对数值的技术称谓，强调的是数值。
位移、速度是向量，长度和速率是标量。

一、表示形式

**

1、数学形式

一般用x、y、z、w来分别表示2D、3D、4D向量的第1、2、3、4个分量的下标。**

2、几何形式

有向线段。

二、零向量

每一维都是0，大小为0，没有方向。

三、负向量

对向量的每一个分量求负。

1、几何意义

对一个向量取负的几何意义是得到一个大小相等，反向相反的向量。

四、向量大小

各分量平方和的平方根。

2、几何意义

五、标准化向量

大小为1的向量，也叫单位向量、法线。只关注方向，不关注大小。

向量除以自身的大小，任意非零向量都能进行标准化。

3、几何意义

2D环境中，如果以原点为尾画一个单位向量，那么向量的头将接触到圆心在原点的单位圆，3D环境中，将接触到圆心在原点的单位球。

六、向量运算

线性代数是专门研究向量的数学分支，关注的是向量的数学意义。
3D数学关注向量的几何意义。

如线性代数只讲向量和矩阵的乘法运算步骤，却不会讲向量乘以矩阵可以实现坐标空间变换。

0、向量+标量

数学上没有定义向量与标量的加减运算，但是很多数学库为了方便，在代码上支持这样的操作。

1、标量 x 向量

标量不能与向量相加，但是能相乘，乘的顺序不重要，乘号可以省略。

向量除以（非零）标量等同于乘以标量的倒数。

注意

• 标量与向量相乘，不需要写乘号。
• 标量不能除以向量，向量不能除以向量
• 负向量就是

几何意义

标量是向量的大小缩放因子，同时也能调整方向。

2、向量 ± 向量

向量的维度相同，可以相加减。

减法解释为加负向量。

注意

• 不同维度不能相加减。
• 向量加法满足交换律，减法不能。
  • 

    几何意义

    “三角形法则”。从下图可以看出，加法符合交换律，减法不符合。
    点击查看【processon】
    点击查看【processon】
    根据三角形法则，向量可以被解释为与轴平行的位移序列。如矩阵，在数学上的解释为：，在几何上的解释：向右1个单位，再向下3个单位，再向前4个单位。

    七、距离公式

    两点间的距离等于其中一个点到另外一个点的向量的长度。则求a、b两点间距离的过程如下：
    

    八、向量点乘

    乘法符号用号，不可省略。得到的结果是一个标量。
    
    

1、几何意义：判断相似度

向量点乘的结果描述了两个向量的“相似”程度，结果越大，两向量越接近。向量接近就是大小和方向的接近。



**

2、几何意义：判断夹角类型

从上表可知，正交时，点乘为零，而零向量与所有向量相乘=0，所以零向量与所有向量正交。

实际应用场景：一个向量与平面的法向量平行，这是还需要确定向量与法向量是否同向。**

3、几何意义：向量投影

九、向量叉乘

乘法符号用表示，不能省略，也叫叉积，仅可用于3D向量。
点乘得到标量，叉乘得到向量且不满足交换律。
向量和标量之间没有叉乘。

1、优先级

乘法在加减法之前，叉乘先于点乘。
称作三重积。
，不满足交换律。
，满足反交换律
，不满足结合律

2、几何意义：得到垂直向量

叉乘得到的向量垂直于原来的两向量。

3、几何意义：叉乘大小=面积

叉乘得到的向量的大小，等于a、b为边的平行四边形的面积。

叉乘认为，零向量平行于任意向量。
**

4、几何意义：法向量是否指向你

在左手坐标系中，a、b呈顺时针方向，向量指向你，反之远离你。
在右手坐标系中，a、b呈逆时针方向，向量指向你，反之指向你。
**

5、实践应用

叉乘用于创建平面、三角形、多边形的法向量（垂直的向量）。

十、向量数学公式

加粗的是向量，普通的是标量，只存在向量时，向量不加粗。

，向量乘以标量，标量相当于缩放因子。
，向量大小非负

，向量加法的三角形法则