预测类算法

一、灰色预测

1. GM(1,1)模型理论

GM(1,1)模型适合具有较强的指数规律的数列，只能描述单调的变化过程。
已知元素序列数据：
做一次累加生成（1-AGO）序列：
其中，
令为的紧邻均值生成序列：
其中，
建立GM(1,1)的灰微分方程模型为：其中，为发展系数，为灰色作用量。设为待估参数向量，即，则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足 其中
再建立灰色微分方程的白化方程（也叫影子方程）：
白化方程的解（也叫时间响应函数）为
那么相应的GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为：
取，则
再做累减还原可得即为预测方程。
注1：原始序列数据不一定要全部使用，相应建立的模型也会不同，即和不同；
注2：原始序列数据必须要等时间间隔、不间断。

2. 算法步骤

(1) 数据的级比检验
为了保证灰色预测的可行性，需要对原始序列数据进行级比检验。
对原始数据列，计算序列的级比：
若所有的级比都落在可容覆盖内，则可进行灰色预测；否则需要对做平移变换，，使得满足级比要求。
(2) 建立GM(1,1)模型，计算出预测值列。

(3) 检验预测值：
① 相对残差检验，计算 若 ，则认为达到一般要求，若 ，则认为达到较高要求；
② 级比偏差值检验
根据前面计算出来的级比, 和发展系数, 计算相应的级比偏差： 若, 则认为达到一般要求，若, 则认为达到较高要求。
(4) 利用模型进行预测。

二、时间序列分析

ARMA

ARMA模型——自回归滑动平均模型，模型参量法高分辨率谱分析方法之一。

基本原理：
将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列，这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。
一方面，影响因素的影响，另一方面，又有自身变动规律，假定影响因素为x1，x2，…，xk，由回归分析，

其中Y是预测对象的观测值，Z为误差。作为预测对象Yt受到自身变化的影响，其规律可由下式体现，

误差项在不同时期具有依存关系，由下式表示，

由此，获得ARMA模型表达式：

ARIMA

python实现参考：https://cloud.tencent.com/developer/article/1646121