前言：求解排队问题的目的，是研究排队系统运行的效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是否合理、研究设计改进措施等。
一、排队系统的组成和特征
一般的排队过程都由输入过程、排队规则、服务过程三部分组成
- 输入过程
输入过程是指顾客到来时间的规律性，可能有下列不同情况：
（i）顾客的组成可能是有限的，也可能是无限的。
（ii）顾客到达的方式可能是一个一个的，也可能是成批的。
（iii）顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达没有影响； 否则是相关的。
（iv）输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等数字特征都与时间无关，否则是非平稳的。
- 排队规则
排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待，可分为损失制，等待制和 混合制三种.
（i）损失制（消失制）。当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客随即离去。
（ii）等待制。当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客就排队等待，直到接受完服务才离去。例如出故障的机器排队等待维修就是这种情况。
排队方式还分为单列、多列和循环队列。
- 服务过程
（i）服务机构。主要有以下几种类型：单服务台；多服务台并联（每个服务台同 时为不同顾客服务）；多服务台串联（多服务台依次为同一顾客服务）；混合型。
（ii）服务规则。按为顾客服务的次序采用以下几种规则：
①先到先服务，这是通常的情形。
②后到先服务，如情报系统中，后到的情报信息往往有价值，因而常被优先处理。
③随机服务，服务台从等待的顾客中随机地取其一进行服务，而不管到达的先后。
④优先服务，如医疗系统对病情严重的病人给予优先治疗。
二、符号概念与记法
X/Y/Z/A/B/C
- X：表示相继到达间隔时间的分布；
- Y：表示服务时间的分布；
- Z：并列的服务台的数目；
- A：系统容量（队长）；
- B：系统状态（顾客源数）；
- C：服务规则
- 常用指标：
- 队长(系统内顾客数)
和排队长(排队等候顾客数) 
，系统内顾客数=排队等候顾客数+正在接受服务的顾客数 - 逗留时间(系统内总时间)
和等待时间(排队时间) 
- 忙期、损失率、服务强度等
基本概念：
（1）泊松分布(最简单流)：t时段内有k个顾客来到服务系统的概率 
服从泊松分布，其中 
表示单位时间内随机事件平均发生次数，即平均到达率。
其满足三个条件：①无后效性；②平稳性；③普通性
（2）负指数分布：用 
表示依次服务完毕离去的顾客的间隔时间 
的概率密度函数，
用 
表示 
的概率分布函数。
重要性质——无记忆性或马尔科夫性，假设每个顾客的服务时间服从负指数分布，则 
表示单位时间能被服务完成的顾客数，称为平均服务率。 
（3）k阶爱尔朗分布：K个相互独立具有相同参数的负指数分布的和的分布，称为k阶爱尔朗分布。
- 如：k个串列的服务台，k道工序。k个随机变量，服从参数
的负指数分布，
即
其概率密度、期望、方差：
服务强度 
，平均到达率和平均服务率之比。
三、实际问题对应模型
，标准单服务台排队模型，例：医生手术
，系统容量有限的情况，例：理发店
，顾客源有限的情况，例：车间机器维修
，标准多服务台排队模型，例：多窗口售票
，顾客源有限，多服务台排队系统，例：多工人的车间机器维修
，系统容量有限，多服务台排队系统。例：民宿房间数
*指标计算公式（应用时对应查找）
以定长服务时间模型和爱尔朗服务时间模型为例：**
下面主要考虑静态问题的优化
- M/M/1模型的最优服务率，
的优化。
例：目标函数 
表示服务成本和等待成本之和的期望， 
，其中 
表示单位时间服务的人均成本， 
表示顾客单位时间停留成本。
- M/M/c模型的最优服务台数，
的优化。
例：目标函数
是总费用的期望， 
，其中 
表示每服务台单位时间成本， 
同上
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