多元函数的基本概念

开区域和闭区域（ Open Regions and Closed Regions）

平面相关概念

实平面

平面上两点间的距离

距离函数的定义

被定义的距离函数需要满足以下条件：
（1）非负性
，当且仅当P1与P2重合时，有
（2）对称性

（3）满足三角不等式

这三个条件是一个函数被称为距离函数的充要条件。

点与区域

邻域

对于是上的一个点，，将与点P0的距离小于𝛿 的点的全体，称为P0的𝛿 邻域，记作，即

去心邻域则去掉点P0
如果不需要强调邻域半径，则记作

点和点集的关系

对于点P和区域E：
（1）内点
存在点P的某个去心邻域U（P）使得U（P）属于E
（2）外点
存在点P的某个去心邻域U（P），使得U（P）和E交集为空集
（3）边界点
点P的任一邻域都同时包含属于E和不属于E的点

聚点：对于任意给定的𝛿 ，U·（P，𝛿 ）中总含有E的点

点集的开与闭

如果E的所有点均为内点，则E是开集
如果E包含它所有的边界点，则E是闭集

如果E的任以两点都可以用多段折线从E内部连接，则E是连通集

开区域：连通的开集
闭区域：连通的闭集

多元函数的概念

略

一些常见二元函数的图形

旋转抛物面
柱面
球面

多元函数的极限

多元函数极限的定义

二重极限

二重极限的存在意味着P从任何方向趋近于P0都能使得极限A存在。
即如果从不同的方向上P趋近于P0时极限有不存在的情况或两个不同方向上的极限不同，则说明P0处的二重极限不存在

证明极限不存在的方法之一：设y=kx，得出的极限与k有关

多元函数的连续性

连续性定义

极限等于函数值，则函数在该点连续。