幂级数

函数项级数的概念

如果是一系列定义在I上的函数，则由这些函数构成的表达式

称为（函数项）无穷级数
前n个函数的和称为该级数的和函数
和函数的导数/积分=逐项求导/积分后的和函数
如果级数收敛，则称x0为该级数的收敛点
如果级数发散，则称x0为该级数的发散点
全体收敛点构成的集合称为该级数的收敛域，全体发散点构成的集合称为该级数的发散域
在该级数的收敛域上，表达式构成的关于x的函数称为该级数的和
在该级数的收敛域上，余项为

幂级数及其收敛性

形如

的级数称为幂级数，其中称为幂级数的系数
可以简写为

Abel定理

如果级数在x0处收敛，则一切使该级数绝对收敛
如果级数在x0处发散，则一切使该级数发散

Abel定理推论

对于不仅在x=0收敛或整个数轴上都收敛的的幂级数，必定存在一个确定的正数R，使得：
对于一切，幂级数绝对收敛
对于一切，幂级数发散
x=R或x=-R处幂级数可能收敛也可能发散
R称之为该级数的收敛半径

收敛半径的求法

设或则幂级数的收敛半径

幂级数的运算

幂级数的四则运算

对于幂级数和，收敛半径分别为R和R’
可以进行以下运算

这些运算在R和R’中更小的收敛区间内成立
而两者做除法得到的新幂级数的收敛域可能比这两者的收敛域都小

和函数的性质

对于幂级数的和函数s(x)
1.和函数在其收敛域上连续

2.和函数在其收敛区间内可积，且有逐项积分公式

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径

3.和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导公式

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径