二重积分

二重积分的概念

常见模型

曲顶柱体的体积；
平面薄片的质量；

二重积分的定义

设是有界闭区域D上的有界函数，将D分成n个小闭区域Δ𝜎1, Δ𝜎2,
⋯ , Δ𝜎𝑛，作乘积𝑓 (𝜉𝑖, 𝜂𝑖) Δ𝜎𝑖，并求和。
如果当各小闭区域的直径的最大值->0时，和的极限存在，且与小闭区域的分点和取法无关，则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分，记作：

二重积分的性质

可加性

二重积分的介值定理

二重积分的中值定理：
二重积分=某一点的函数值*区域面积

常见的二重积分

二重积分的计算

利用直角坐标计算

1

将区域D划分为X型区域或Y型区域（穿过D且与y/x轴平行的直线与D的边界相交不多于两点），如果D既不是X型又不是Y型，则割补为X型或Y型区域进行计算。

2

对于X型区域，有积分限：
则二重积分化为二次积分：

3

对于Y型区域，有积分限：

则化二重积分为二次积分：

利用极坐标计算

极坐标变换

极坐标下二重积分的计算

由极坐标变换

则二重积分的计算：

二重积分的换元法

按照进行换元，若换元得到的区域D’满足：
在该区域上均可微；
雅克比式；
D’->D的变换是一对一的。
则有