0 前言:机器学习方法论

在此之前,我们已经学习了分类算法:kNN算法,回归算法:线性回归。我们知道
机器学习就是需找一种函数f(x)并进行优化,且这种函数能够做测、分类、生成等工作。
那么其实可以总结出关于“如何找到函数f(x)”的方法论。可以看作是机器学习的“三板斧

  • 第一步:定义ー个函数集合( define a function set)
  • 第二步:判断函数的好坏( goodness of a function)
  • 第三步:选择最好的函数( pick the best one)

我们先把目光放在第三步上: How to pick the best one?
我们的目标是让损失函数最小化。这就引出了下面需要介绍的方法:梯度下降是目前机器学习、深度学习解決最优化问题的算法中,最核心、应用最广的方法。

1 为什么需要梯度下降算法

如果我们抛开具体场景,仅从数学抽象的角度来看:每个模型都有自己的损失函数,不管是监督式学习还是非监督式 学习。

损失函数包含了若干个位置的模型参数,比如在多元线性回归中,损失函数image.png，其中向量θ表示未知的模型参数,我们就是要找到使损失函数尽可能小的参数未知模型参数。

在学习简单线性回归时,我们使用最小二乘法来求损失函数的最小值,但是这只是一个特例。在绝大多数的情况下, 损失函数是很复杂的(比如逻辑回归),根本无法得到参数估计值的表达式。因此需要一种对大多数函数都适用的方 法。这就引出了“梯度算法”。

我们先了解一下梯度下降是用来做什么的?

首先梯度下降( Gradient Descent,GD),不是一个机器学习算法,而是一种基于搜索的最优化方法。梯度下降 ( Gradient Descent,GD)优化算法,其作用是用来对原始模型的损失函数进行优化,以便寻找到最优的参数,使得损失函数的值最小。

要找到使损失函数最小化的参数,如果纯粹靠试错搜索,比如随机选择1000个值,依次作为某个参数的值,得到 1000个损失值,选择其中那个让损失值最小的值,作为最优的参数值,那这样太笨了。我们需要更聪明的算法,从损失值出发,去更新参数,且要大幅降低计算次数。

梯度下降算法作为一个聪明很多的算法,抓住了参数与损失值之间的导数,也就是能够计算梯度( gradient),通过导数告诉我们此时此刻某参数应该朝什么方向,以怎样的速度运动,能安全高效降低损失值,朝最小损失值靠拢。
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2 什么是梯度

简单地来说,多元函数的导数( derivative)就是梯度( gradient),分别对每个变量进行微分,然后用逗号分割开,梯度是用括号包括起来,说明梯度其实一个向量,我们说损失函数L的梯度为:image.png

我们知道导数就是变化率。梯度是向量,和参数维度一样。
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假设,我们有一个二元函数image.png・那么f的梯度：image.png
例如在点(1,2),梯度研的取值为:image.png
那么这个梯度有什么用呢?
在单变量的函数中,梯度其实就是函数的微分,代表着函数在某个给定点的切线的斜率。
在多变量函数中,梯度是一个向量,向量有方向,梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向。

梯度指向误差值增加最怏的方向,导数为0(梯度为이向量)的点,就是优化问题的解。在上面的二元函数中,点(1,2) 向着(4,-2)的方向就是梯度方向

为了找到这个解,我们沿着梯度的反方向进行线性搜索,从而減少误差值。每次搜索的步长为某个特定的数值n,直 到梯度与0向量非常接近为止。更新的点是x1=xo-n所有点的X梯度,y1=y0-n所有点的y梯度

3 理解梯度下降算法

很多求解最优化问题的方法,大多源自于模拟生活中的某个过程。比如模拟生物繁殖,得到遗传算法。模拟钢铁冶炼的冷却过程,得到退火算法。其实梯度下降算法就是模拟滚动,或者下山,在数学上可以通过函数的导数来达到这个模拟的效果。

梯度下降算法是一种思想,没有严格的定义。

3.1 场景假设

梯度下降就是从群山中山顶找一条最短的路走到山谷最低的地方。

既然是选择一个方向下山,那么这个方向怎么选?每次该怎么走?
选方向在算法中是以随机方式给出的,这也是造成有时候走不到真正最低点的原因。如果选定了方向,以后每走一步,都是选择最陡的方向,直到最低点。

总结起来就一句话:随机选择一个方向,然后每次迈步都选择最陡的方向,直到这个方向上能达到的最低点。

梯度下降法的基本思想可以类比为一个下山的过程。假设这样一个场景

一个人被困在山上,需要从山顶到山谷。但此时雾很大,看不清下山的路经。他必须利用白己周围的 信息去找到下山的路经。这个时候,他就可以利用梯度下降算法来帮助启己下山。 具体来说就是,以他当前的所处的位置为基涟,随机选择一个方向,然后每次迈步都选择最陡的方 向。然后每走一段距离,都反复来用同ー个方法:如果发现脚下的路是下坡,就顺着最陡的方向走 步,如果发现脚下的路是上坡,就逆着方向走一步,最后就能成功的抵达山谷。

image.png

3.2 数学推导

从数学的角度出发,针对损失函数L,假设选取的初始点为(a0,b0);现在将这个点稍微移动一点点,得到(a1,b1)。那么根据泰勒展开式(多元函数的一阶展开式)：
image.png
设我们移动的“一点点”为△L,则我们可以得到△L=L(a1,b1)-L(a0,b0),将泰勒展开式代入其中,我们则得到：
image.png
如果我们令移动的距离分别为:image.png,其中规定n>0,则可以得到
image.png
这就说明,我们如果按照规定的移动距离公式移动参数,那么损失函数的函数值始终是下降的,这样就达到了我们要 求的“损失变小”的要求了。如果一直重复这种移动,则可以证明损失函数最终能够达到一个最小值。
那么我们就可以得到损失函数值(也就是下一步的落脚点)的迭代公式：
image.png

针对于上述公式,有一些常见的问题

  • 为什么要梯度要以一个负号?

我们已经知道:梯度的方向就是损失函数值在此点上升最快的方向,是损失增大的区域,而我们要使损失最小,因此 就要逆着梯度方向走,自然就是负的梯度的方向,所以此处需要加上负号

  • 关于参数n

我们已经知道,梯度对应的是下山的方向,而参数n对应的是步伐的长度。在学术上,我们称之为“学习率”( learning rate),是模型训练时的一个很重要的超参数,能直接影响算法的正确性和效率

  • 首先,学习率n不能太大。因此从数学角度上来说,一阶泰勒公式只是一个近似的公式,只有在学习率很小,也 就是△a,△b很小时オ成立。并且从直观上来说,如果学习率太大,那么有可能会“迈过”最低点,从而发生“摇 摆”的现象(不收敛),无法得到最低点
  • 其次,学习率n又不能太小。如果太小,会导致每次迭代时,参数几乎不变化,收敛学习速度变慢,使得算法的 效率降低,需要很长时间才能达到最低点。

image.png

3.3 致命问题

梯度算法有一个比较致命的问题
从理论上,它只能保证达到局部最低点,而非全局最低点。在很多复杂函数中有很多极小值点,我们使用梯度下降法只能得到局部最优解,而不能得到全局最优解。那么对应的解决方案如下
首先随机产生多个初始参数集,即多组a0,b0;然后分别对每个初始参数集使用梯度下降法,直到函数值收敛于某个 值;最后从这些值中找出最小值,这个找到的最小值被当作函数的最小值。当然这种方式不一定能找到全局最优解, 但是起码能找到较好的。
对于梯度下降来说,初始点的位置,也是一个超参数。

总结

在机器学习的“三板斧”中,第三步的目标是让损失函数最小化,从而引出了梯度下降法,这一目前机器学习、深度学习解决最优化问题的算法中,最核心、应用最广的方法。所谓梯度下降,是一种基于搜索的最优化方法,其作用是用来对原始模型的损失函数进行优化,找到使损失函数(局部)最小的参数。
首先对梯度下降有一个整体的印象:梯度是向量,是多元函数的导数,指向误差值增加最快的方向。我们沿着梯度的 反方向进行线性搜索,从而减少误差值,是为梯度下降。然后我们通过“下山”这样的模拟场景,以及严谨的数据公式 推导深刻理解了梯度下降算法,并引出了学习率的概念。最后我们给出了梯度下降方法的不足和改进方法