1.3 控制系统的数学模型

数学模型基础

控制系统数学模型的概念

描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式，称为系统的数学模型。

建立数学模型的目的

建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。

1.1.1 系统的微分方程

描述系统的输入量和输出量之间关系的最直接的数学方法是列写系统的微分方程。当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。微分方程是系统最基本的数学模型。
建立系统微分方程的一般步骤如下：
（1）全面了解系统的工作原理、结构组成和支持系统运动的物理规律，确定系统的输入量和输出量。
（2）一般从系统的输入量开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。
（3）将各元件或环节的微分方程联系起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程。它就是系统的微分方程。
（4）将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。

1.1.2 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是一种函数的数学变换，经变换后，可将微分方程方程式变换成代数方程式，并且在变换的同时即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，因此这种方法可以使微分方程求解的过程大为简化。
在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模型是建立在传递函数基础上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础之上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础。

1.1.3 传递函数

传递函数是系统的另一种数学模型。它比微分方程简单明了、运算方便，是自动控制系统中最常用的数学模型。
传递函数定义为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比，即

这里所谓初始条件为零（又称零初始条件），一般是指输入量在t=0时刻以后才作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在t≤0时的值也均为零。现实的控制系统多属这种情况。在研究一个系统时，通常总是假定该系统原来处于稳定平衡状态，若不加输入量，系统就不会发生任何变化。系统中的各个变量都可用输入量作用前的稳态值作为起算点（即零点），因此，一般都能满足零初始条件。
传递函数有以下性质：
（1）传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程之间存在着一一对应关系。对于一个确定的系统（输出量与输入量都已确定），它的微分方程是唯一的，所以，其传递函数也是唯一的。
（2）传递函数只与系统系统本身的内部结构和参数有关，而与输入量、扰动量等外部因素无关。因此，它代表了系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型，称为系统的复数域模型（以时间为自变量的微分方程，则称为时间域模型）。
（3）传递函数是一种运算函数，由G(s)=C(s)/R(s)可得C(s)=G(s)R(s)，此式表明，若已知一个系统的传递函数G(s)，则对任何一个输入量R(t)，只要以R(s)乘以G(s)，即可得到输出量的象函数C(s)，再经过拉氏反变换，就可求得输出量C(t)，由此可见，G(s)起着从输入到输出的传递作用，故名传递函数。
（4）传递函数可以研究系统的动态特性。

1.3.4系统方框图

方框图又称结构图，它是传递函数的一种图形描述方式，它可以形象地描述自动控制系统中各单元之间的相互关系，具有简明直观、运算方便的优点，所以方框图在分析自动控制系统中获得了广泛的应用。
方框图由信号线、引出点、比较点和功能框等部分组成，如图。

方框图的图形符号
1.信号线：信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数，见上图（a）。
2.引出点（或测量点）：引出点表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同，见上图（b）。
3.比较点（或综合点）：比较点表示对两个以上的信号进行加减运算，”＋”号表示相加，”一”号表示相减，”＋”号可省略不写，见上图（c）。
4.方框（或环节）：方框表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数，见上图（d）。显然，方框的输出变量等于方框的输入变量与传递函数的乘积，即(s)=G(s)U(s)，因此，方框可视作单向运算的算子。
下图为一典型自动控制系统的方框图。它通常包括前向通路和反馈回路（主反馈回路和局部反馈回路）、引出点和比较点、输入量R(s)、输出量C(s)、反馈量B(s)和偏差量E(s)。图中，各种变量均标以大写英文文字的拉氏式（如X(s)），方框中均为传递函数。

典型自动控制系统方框图