概论

信号

  • 定义
    • 信号是消息的表现形式，消息是信号的具体内容
  • 描述方法
    • 数学表达式和波形图
  • 分类
    • 确定性信号与随机信号
    • 周期信号与非周期信号
    • 连续时间信号与离散时间信号
    • 一维信号与多维信号
    • 能量受限信号与功率受限信号
    • 调制信号，载波信号，已调信号等等
  • 典型信号
    • 指数信号
      • |a|的倒数称为指数信号的时间常数，记做τ，
      • 单边带指数信号
    • 正弦信号
      • 欧拉公式的变换
    • 复指数信号，s=σ+jω
    • 抽样函数
    • 钟形信号（高斯信号）
  • 信号的运算
    • 移位，反褶，尺度变换
    • 微分，积分
      • 突出变化部分和平滑突变部分效果
    • 信号相乘或相加
      • 调制解调的运用
  • 特殊信号
    • 单位斜边函数
      • Subtopic
    • 单位阶跃信号
      • Subtopic
    • 单位冲激信号
      • δ(t)
        • 筛选特性
      • 狄拉克定义
    • 冲激偶信号
      • 单位冲激函数的导数
        • 重要性质
  • 信号分解
    • 直流分量和交流分量
    • 偶分量和奇分量
    • 脉冲分量
    • 实部分量和虚部分量
    • 正交函数分量

系统

  • 定义
    • 若干相互作用和相互依赖的事物组合而形成的具有特定动能的整体
  • 描述方法
    • 数学表达式和方框图
  • 分类
    • 连续时间系统和离散时间系统
    • 即时系统和动态系统
    • 集总参数系统和分布参数系统
    • 线性系统和非线性系统
      • 线性包括叠加性和均匀性（齐次性）
    • 可逆系统与不可逆系统
    • 因果系统和非因果系统
    • 主要研究LTIS，线性时不变系统
      • 线性
      • 时不变性
      • 因果性
      • 微分特性

时域分析

时域经典法求解

  • 用特征根，求齐次解，再求特解，根据初始条件求待定系数
    • 完全解
  • 自由响应（固有响应）和强迫响应（受迫响应）
    • 齐次解依赖于系统本身
    • 齐次解的系数与激励信号有关，特解完全由激励产生
  • 0时刻跳变点
    • 在没有冲激电流或者阶跃电压强迫作用于电容或电感的时候，它们两端的电流和流经的电流不发生跳变
  • 零输入响应和零状态响应
    • 零输入：没有外加激励信号，只由起始状态产生的响应
    • 零状态：不考虑起始状态时刻系统储能的作用，由外加激励信号产生的响应
  • 冲激响应与阶跃响应
    • 以单位冲激信号δ(t)作为激励，系统产生的零状态响应，称为单位冲击响应，以h(t)表示
    • 以单位阶跃信号u(t)作为激励，系统产生的零状态响应，称为单位阶跃响应，以g(t)表示

卷积

  • 定义
    • 将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应，从而求解任意激励信号的零状态响应
  • 利用卷积求零状态响应
    • 激励信号e(t),h(t)冲激响应，零状态响应
  • 性质
    • 交换律
    • 分配律
    • 结合律
    • 微分与积分
      • 两个函数卷积后的积分或微分等于一函数的积分或微分与另一函数的卷积
        • Subtopic
        • Subtopic
    • 与冲击信号与阶跃信号的卷积
      • δ(t)的卷积
      • 一般式
      • u(t)的卷积
  • 利用卷积可消除多径失真

傅里叶变换

傅里叶级数展开

  • 狄里赫利条件
    • 同一周期内，有限个间断点
    • 同一周期内，极值的个数有限
    • 同一周期内，信号绝对可积
  • 傅里叶级数展开表达式
    • 傅里叶级数展开
    • 指数形式
      • 傅里叶级数
      • 傅里叶级数的系数
  • 函数对称性和傅里叶系数的关系
    • 偶函数
      • 无正弦项，有直流项和余弦项
    • 奇函数
      • 无余弦项，只可能有正弦项
    • 奇谐函数
      • 奇谐函数：平移半个周期上下反转，波形不变
      • 只含有基波和奇次谐波的正弦项和余弦项，而不会包含偶次谐波项
  • 典型周期函数的傅里叶级数
    • 周期矩形脉冲
      • 三角形式
      • 指数形式的傅里叶级数系数
      • 指数形式
    • 周期锯齿脉冲
      • Subtopic
    • 周期三角脉冲
    • 周期半波余弦
    • 周期全波余弦

傅里叶变换

  • 用周期信号的傅里叶级数通过极限的方法导出的非周期信号频谱的表达式，称为傅里叶变换
  • 公式
    • 正变换
    • 逆变换
  • 典型信号的傅里叶变换
    • 单边指数信号
    • 双边指数信号
    • 矩形脉冲信号
      • 频率函数
      • 频谱和相位谱
    • 钟形脉冲信号
  • 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
    • 冲激信号：F（δ（t））=1，直流信号的傅里叶变换是冲激函数
    • 冲激偶函数的傅里叶
    • 阶跃函数：F(u(t))=πδ(ω)+1/jω
  • 基本性质
    • 对称性
    • 线性
    • 奇偶虚实性
    • 尺度变换特性
    • 时移特性
    • 频移特性
    • 微分特性
    • 积分特性
  • 卷积定理
    • 时域卷积定理
      • 说明两时间函数卷积的频谱等于各个函数频谱的乘积，即时域中两信号的卷积等于在频域中频谱乘积
    • 频域卷积定理
      • 说明两时间函数频谱的卷积等效于两函数的乘积，或者说两时间函数乘积的频谱等于各函数频谱的卷积乘以1/2π
  • 周期信号的傅里叶变换
    • 正弦，余弦信号的傅里叶变换
    • 一般周期信号的傅里叶变换
      • Subtopic
  • 抽样定理
    • 时域抽样定理
      • 一个频谱受限的信号f(t)，如果频谱只占据-ω₁——+ω₁的范围，则信号f(t)可以用等间隔的抽样值唯一的表示。而抽样间隔必须不大于1/2f₁，或者说最低抽样频率为2f₁
    • 频域抽样定理
      • 若信号f(t)是时间受限信号，它集中于-t₁——+t₁的时间范围内，若频域中以不大于1/2t₁的频率间隔对f(t)的频谱F(ω)进行抽样，则抽样后的频谱F₁(ω)可以唯一的表示原信号

拉普拉斯变换

定义

  • 引入一个衰减因子e^(-σ+jω)使它与f(t)相乘，使函数收敛满足可积条件，用s=σ+jω代替，建立时域与复频域（s域）之间的联系

公式

常用函数的拉氏变换

  • 阶跃函数
  • 指数函数
  • t^n
  • 冲激函数

基本性质

  • 线性
  • 函数微分
  • 函数积分
  • 延时（时域平移）
  • s域平移
  • 尺度变换
  • 初值
  • 终值

拉普拉斯逆变换

  • 部分分式分解
  • 用留数定理求逆变换

用拉普拉斯分析s域元件模型和电路

系统函数（网络函数）

  • 系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比称为系统函数H(s)
    • r(t)=h(t)e();R(s)=H(s)E(s)

系统函数的零点极点分布

  • H(s)分母多项式之根构成极点，分子多项式的根构成零点；s平面用圈表示零点，用×表示极点
    • 极点位于s平面原点，冲激响应为阶跃响应
    • 极点位于s平面的实轴上，激励响应具有指数函数形式
    • 虚轴上的极点给出等幅震荡
    • 落于s左边平面的共轭极点对应于衰落振幅
  • 系统函数的极点形成自由响应和激励函数的极点形成强迫响应
  • 瞬态响应分量和稳态响应分量

频响特性

  • 指正弦信号的激励之下稳态响应随信号频率的变化情况
    • 幅度随频率的响应
    • 相位随频率的响应

全通网络与最小相移系统的零极点分布

  • 全通网络：如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且极点和零点关于jω轴互为镜像，那么这种网络称为全通网络，指频幅特性为常数
  • 最小相移系统：零点仅位于左半平面或jω轴的网络函数称为最小相移网络

线性系统的稳定性

  • 稳定性分类
    • 稳定系统
      • 极点全部落于s左半平面（不包括虚轴）
    • 不稳定系统
      • 极点落于s右边平面，或在虚轴上有二阶以上极点
    • 临界稳定系统
      • 极点落于s平面的虚轴上，并且只有一阶
  • 若系统对任意的有界输入及其零状态响应也是有界的，则称此系统为稳定系统
    • 充要条件的数学表达