极限

序列 极限定义

• 序列实际上是从到的一个函数
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  • 也就是说自然数列中的每一个元素对应因变量。
• 但是我们也通常把序列看成按照一定顺序排列的数
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• 例子：

  • 通项公式：
  • 描述法：3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415

    极限

• 举例三个序列

  • ，画图可知当，即 n 趋向于正无穷的时候，趋向于0。
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  • ，画图可知当，即 n 趋向于正无穷的时候，趋向于0。
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    • 前者代表偶数项，后者代表奇数项。画图可知当，即 n 趋向于正无穷的时候，趋向于0。
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• 由上述三个式子可知，当 n 在 趋于无穷 的时候，可以 任意接近 一个数 l 。

  • 那么应该如何描述“趋于无穷”和“任意接近”
  • 由上引出极限的定义：设是一个序列，如果存在常数 l ，使得，有： N的描述
    • 则称该序列是收敛的，并且称 l 为该序列的极限（或者说序列收敛于 l ），记为
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    • 如果不存在这样的 l ，那么称是发散序列。
    • 上述描述语言叫做语言
      • 用该语言描述发散序列时只需要把任意和存在调换就可以。
  • ， 可以改写为
    • 图示，用邻域的角度阐述极限
    • ,在 的邻域包含了自项之后的无穷项
    • ,在 的邻域之外只有的有限项
    • 用极限的定义证明极限，例题就不记了，见视频p5

      序列极限的性质

• 唯一性：收敛序列的极限是唯一的。

• 有界性：收敛序列是有界的。
• 保序性：，存在使得，只要，则。
• 四则运算：设，则
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• 子序列收敛：，则的任意一个子序列
• 单调收敛原理：单调有界的实数序列一定会有极限。

  序列极限性质的证明

  略 。。。。。。。。。。。。。。。。。
  序列极限的计算，略略略
  

  夹逼收敛原理

  设序列，满足存在使得。
  若，则。
  使用了保序性的原理。