概述

二分查找是一种常见的计算机应用思想，针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。
二分查找其时间复杂度为O(logn)，O(logn) 这种对数时间复杂度。这是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。
因为 logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便 n 非常非常大，对应的 logn 也很小。比如 n 等于 2 的 32 次方，这个数很大了吧？大约是 42 亿。也就是说，如果我们在 42 亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较 32 次。
用大 O 标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，O(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如 O(1000)、O(10000)。所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有 O(logn) 的算法执行效率高。

二分查找的实现

循环实现方案

  1.     /**
  2.      * 常规取中间数的逻辑是mid =（left+right)/2
  3.      * int mid = left + (right - left) / 2;
  4.      * 这样写的目的是防止left+right超过整数范围导致移除
  5.      */
  6.     static int binarySearch(int[] data, int v) {
  7.         int left = 0;
  8.         int right = data.length - 1;
  9.         while (left <= right) {
  10.             int mid = left + (right - left) / 2;
  11.             if (data[mid] == v) {
  12.                 return mid;
  13.             } else if (data[mid] > v) {
  14.                 right = mid - 1;
  15.             } else {
  16.                 left = mid + 1;
  17.             }
  18.         }
  19.         return -1;
  20.     }

三点注意的地方

  • 循环退出条件注意是 low<=high，而不是 low<high。
  • mid 的取值。实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 low+(high-low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
  • low 和 high 的更新。low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出。

递归实现方案

  1. static int binarySearch(int[] data, int v) {
  2.         int left = 0;
  3.         int right = data.length - 1;
  4.         return binarySearchInternally(data, v, left, right);
  5. }
  7. static int binarySearchInternally(int[] data, int v, int left, int right) {
  8.     if (left > right) {
  9.         return -1;
  10.     }
  11.     int mid = left + (right - left) / 2;
  12.     if (data[mid] == v) {
  13.         return mid;
  14.     } else if (data[mid] < v) {
  15.         return binarySearchInternally(data, v, mid + 1, right);
  16.     } else {
  17.         return binarySearchInternally(data, v, left, mid - 1);
  18.     }
  20. }

二分查找应用场景的局限性

首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。
那二分查找能否依赖其他数据结构呢？比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。我们在数组和链表那两节讲过，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是 O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是 O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。

其次，二分查找针对的是有序数据。
二分查找对这一点的要求比较苛刻，数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序。前面章节里我们讲到，排序的时间复杂度最低是 O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用

再次，数据量太小不适合二分查找。
如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为 10 的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。
不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过 300 的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

最后，数据量太大也不适合二分查找。
二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有 1GB 大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 1GB 的连续内存空间。
注意这里的“连续”二字，也就是说，即便有 2GB 的内存空间剩余，但是如果这剩余的 2GB 内存空间都是零散的，没有连续的 1GB 大小的内存空间，那照样无法申请一个 1GB 大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。

二分查找的几种变体

1）查找第一个值等于给定值的元素

比如下面这样一个有序数组，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等于 8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于 8 的数据，也就是下标是 5 的元素。
image.png

  1. static int binarySearch(int[] data, int value) {
  2.         int left = 0;
  3.         int right = data.length - 1;
  4.         while (left <= right) {
  5.             int mid = left + ((right - left) >> 1);
  6.             if (data[mid] > value) {
  7.                 right = mid - 1;
  8.             } else if (data[mid] < value) {
  9.                 left = mid + 1;
  10.             } else {
  11.                 if ((mid == 0) || (data[mid - 1] != value)) {
  12.                     return mid;
  13.                 } else {
  14.                     right = mid - 1;
  15.                 }
  17.             }
  18.         }
  19.         return -1;
  20. }

我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当 data[mid]等于要查找的值时，data[mid]就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当 a[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个 a[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。
如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果 mid 不等于 0，但 data[mid]的前一个元素 data[mid-1]不等于 value，那也说明 data[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。
如果经过检查之后发现 data[mid]前面的一个元素 a[mid-1]也等于 value，那说明此时的 a[mid]肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新 right=mid-1，因为要找的元素肯定出现在[left, mid-1]之间。

2）查找最后一个值等于给定值的元素

与查找第一个给定值的逻辑类似，我们只需要看数组的最后一个值或data[mid]的下一个值

  1.  static int binarySearch(int[] data, int value) {
  2.         int left = 0;
  3.         int n = data.length - 1;
  4.         int right = n;
  5.         while (left <= right) {
  6.             int mid = left + ((right - left) >> 1);
  7.             if (data[mid] > value) {
  8.                 right = mid - 1;
  9.             } else if (data[mid] < value) {
  10.                 left = mid + 1;
  11.             } else {
  12.                 if ((mid == n) || (data[mid + 1] != value)) {
  13.                     return mid;
  14.                 } else {
  15.                     left = mid + 1;
  16.                 }
  18.             }
  19.         }
  20.         return -1;
  21.     }

3）查找第一个大于等于给定值的元素

现在我们再来看另外一类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列：3，4，6，7，10。如果查找第一个大于等于 5 的元素，那就是 6。

  1. static int binarySearch(int[] data, int value) {
  2.     int left = 0;
  3.     int n = data.length - 1;
  4.     int right = n;
  5.     while (left <= right) {
  6.         int mid = left + ((right - left) >> 1);
  7.         if (data[mid] >= value) {
  8.             if ((mid == 0) || (data[mid - 1] < value)) {
  9.                 return mid;
  10.             } else {
  11.                 right = mid - 1;
  12.             }
  13.         } else if (data[mid] < value) {
  14.             left = mid + 1;
  15.         }
  16.     }
  17.     return -1;
  18. }

4）查找最后一个小于等于给定值的元素

我们来看最后一种二分查找的变形问题，查找最后一个小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据：3，5，6，8，9，10。最后一个小于等于 7 的元素就是 6。

  1. static int binarySearch(int[] data, int value) {
  2.         int left = 0;
  3.         int n = data.length - 1;
  4.         int right = n;
  5.         while (left <= right) {
  6.             int mid = left + ((right - left) >> 1);
  7.             if (data[mid] > value) {
  8.                 right = mid - 1;
  9.             } else if (data[mid] <= value) {
  10.                 if ((mid == n) || (data[mid + 1] > value)) {
  11.                     return mid;
  12.                 } else {
  13.                     left = mid + 1;
  14.                 }
  16.             }
  17.         }
  18.         return -1;
  19. }

实践

1）大数据量里指定查找

假设我们有 1000 万个整数数据，每个数据占 8 个字节，如何设计数据结构和算法，快速判断某个整数是否出现在这 1000 万数据中？ 我们希望这个功能不要占用太多的内存空间，最多不要超过 100MB，应该怎么做？

1000万个8字节整数,共计占用：1000w*8/1024/1024 ~ 80MB内存，当前100MB，可以直接放到内存做快排，然后走二分查找即可

2）如何快速定位出一个 IP 地址的归属地？

比如假如我们维护了一个IP地址库，地址库中包括 IP 地址范围和归属地的对应关系。

  2. [202.102.133.0, 202.102.133.255]  山东东营市 
  3. [202.102.135.0, 202.102.136.255]  山东烟台 
  4. [202.102.156.34, 202.102.157.255] 山东青岛 
  5. [202.102.48.0, 202.102.48.255]     江苏宿迁 
  6. [202.102.49.15, 202.102.51.251] 江苏泰州 
  7. [202.102.56.0, 202.102.56.255]  江苏连云港

如何快速定位一个IP的地址归属地呢？
比如查找 202.102.133.13 这个IP的归属地？
解决方案
如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。
然后，这个问题就可以转化为第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。
当我们要查询某个 IP 归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。