五、二叉树

树

树是一种非线性表

树的种类

树的特征：

“树”这种数据结构里面每个元素叫作“节点”；用来连线相邻节点之间的关系叫作“父子关系”。

比如下面这幅图，A 节点就是 B 节点的父节点，B 节点是 A 节点的子节点。B、C、D 这三个节点的父节点是同一个节点，所以它们之间互称为兄弟节点。没有父节点的节点叫根节点，也就是图中的节点 E。没有子节点的节点叫作叶子节点或者叶节点，比如图中的 G、H、I、J、K、L 都是叶子节点。

树的概念

高度、层、深度他们是这样定义的

节点的高度=节点到叶子节点的最长路径(边数)
节点的深度=根节点到这个节点所经历的边的个数
节点的层数=节点的深度+1
树的高度=根节点的高度

“高度”是从下往上度量，从最底层开始计数计数的起点是 0。

“深度”是从上往下度量，从根结点开始度量计数起点也是 0。

“层数”跟深度的计算类似，不过计数起点是 1。

二叉树

二叉树的每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。二叉树中，有两种比较特殊的树，分别是满二叉树和完全二叉树。满二叉树又是完全二叉树的一种特殊情况。

二叉树既可以用链式存储，也可以用数组顺序存储。数组顺序存储的方式比较适合完全二叉树，其他类型的二叉树用数组存储会比较浪费存储空间。除此之外，二叉树里非常重要的操作就是前、中、后序遍历操作，遍历的时间复杂度是 O(n)，需要用递归代码来实现。

二叉树是树的一种，特点是每个节点最多有两个子节点，分别是左子节点和右子节点。不过，二叉树有的节点只有左子节点，有的节点只有右子节点：

上图编号 2 的二叉树中，叶子节点全都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两个子节点，这种二叉树就叫作满二叉树。

编号 3 的二叉树中，叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫作完全二叉树。

完全二叉树

最后一层的叶子节点靠左排列的才叫完全二叉树，如果靠右排列就不能叫完全二叉树了。

二叉树遍历

前序遍历、中序遍历和后序遍历。

• 前序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。
• 中序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。
• 后序遍历是指，对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。

二叉查找树

二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。二叉查找树支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。

二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值都小于这个节点的值，而右子树每个节点的值都大于这个节点的值:

二叉查找树查找操作

首先，我们看如何在二叉查找树中查找一个节点。我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子 树中递归查找;如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。

二叉查找树插入操作

二叉查找树的插入过程需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。

如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。

二叉查找树的删除操作

针对要删除节点的子节点个数的不同需要分2种情况来处理。

如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点）或没有子节点（左右子节点均为Null），只需要要将要删除节点的父节点的指针指向要删除节点的子节点。比如下图中删除节点 55、 13。

如果要删除的节点有两个子节点。需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再按照上面方法删除掉这个最小节点。比如下图中的删除节点 18。（用左子树的最大节点进行替换也可以）