原文：How to Build Exponential Smoothing Models Using Python: Simple Exponential Smoothing, Holt, and…

需要用到 statsmodels 这个包。

  1. import matplotlib.pyplot as plt
  2. from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt

示例中的源数据：

  1. data = [253993,275396.2,315229.5,356949.6,400158.2,442431.7,495102.9,570164.8,640993.1,704250.4,767455.4,781807.8,776332.3,794161.7,834177.7,931651.5,1028390,1114914]
  2. plt.plot(data);

image.png

简单指数平滑(SES)

对于没有明显趋势或季节规律的预测数据，SES 是一个很好的选择。预测是使用加权平均来计算的，这意味着最大的权重与最近的观测值相关，而最小的权重与最远的观测值相关

时间序列：Holt-Winters 平滑模型 - 图2

其中 0≤α≤1 是平滑参数。
权重减小率由平滑参数 α 控制。 如果 α 很大（即接近1），则对更近期的观察给予更多权重。 有两种极端情况：

  • α= 0：所有未来值的预测等于历史数据的平均值（或“平均值”），称为平均值法。
  • α= 1：简单地将所有预测设置为最后一次观测的值，统计中称为朴素方法。

这里我们运行三种简单指数平滑变体：

  1. 在fit1中，我们明确地为模型提供了平滑参数α=0.2
  2. 在fit2中，我们选择α=0.6
  3. 在fit3中，我们使用自动优化，允许statsmodels自动为我们找到优化值。 这是推荐的方法。
  1. # Simple Exponential Smoothing
  2. fit1 = SimpleExpSmoothing(data).fit(smoothing_level=0.2,optimized=False)
  3. # plot
  4. l1, = plt.plot(list(fit1.fittedvalues) + list(fit1.forecast(5)), marker='o')
  7. fit2 = SimpleExpSmoothing(data).fit(smoothing_level=0.6,optimized=False)
  8. # plot
  9. l2, = plt.plot(list(fit2.fittedvalues) + list(fit2.forecast(5)), marker='o')
  12. fit3 = SimpleExpSmoothing(data).fit()
  13. # plot
  14. l3, = plt.plot(list(fit3.fittedvalues) + list(fit3.forecast(5)), marker='o')
  16. l4, = plt.plot(data, marker='o')
  17. plt.legend(handles = [l1, l2, l3, l4], labels = ['a=0.2', 'a=0.6', 'auto', 'data'], loc = 'best', prop={'size': 7})
  18. plt.show()
  20. # 我们预测了未来五个点

image.png

Holt’s 方法(二次指数平滑)

Holt扩展了简单的指数平滑（数据解决方案没有明确的趋势或季节性），以便在1957年预测数据趋势。Holt的方法包括预测方程和两个平滑方程（一个用于水平，一个用于趋势）：

时间序列：Holt-Winters 平滑模型 - 图4

其中0≤α≤1是水平平滑参数，0≤β∗≤1是趋势平滑参数。
对于长期预测，使用Holt方法的预测在未来会无限期地增加或减少。 在这种情况下，我们使用具有阻尼参数0<φ<1的阻尼趋势方法来防止预测“失控”。

时间序列：Holt-Winters 平滑模型 - 图5

同样，这里我们运行Halt方法的三种变体：

  1. 在fit1中，我们明确地为模型提供了平滑参数α=0.8，β∗=0.2。
  2. 在fit2中，我们使用指数模型而不是Holt的加法模型（默认值）。
  3. 在fit3中，我们使用阻尼版本的Holt附加模型，但允许优化阻尼参数φ，同时固定α=0.8，β∗=0.2的值。
  1. data_sr = pd.Series(data)
  2. # Holt’s Method
  3. fit1 = Holt(data_sr).fit(smoothing_level=0.8, smoothing_slope=0.2, optimized=False)
  4. l1, = plt.plot(list(fit1.fittedvalues) + list(fit1.forecast(5)), marker='^')
  6. fit2 = Holt(data_sr, exponential=True).fit(smoothing_level=0.8, smoothing_slope=0.2, optimized=False)
  7. l2, = plt.plot(list(fit2.fittedvalues) + list(fit2.forecast(5)), marker='.')
  9. fit3 = Holt(data_sr, damped=True).fit(smoothing_level=0.8, smoothing_slope=0.2)
  10. l3, = plt.plot(list(fit3.fittedvalues) + list(fit3.forecast(5)), marker='.')
  12. l4, = plt.plot(data_sr, marker='.')
  13. plt.legend(handles = [l1, l2, l3, l4], labels = ["Holt's linear trend", "Exponential trend", "Additive damped trend", 'data'], loc = 'best', prop={'size': 7})
  14. plt.show()

image.png

Holt-Winters 方法(三次指数平滑)

(彼得·温特斯(Peter Winters)是霍尔特(Holt)的学生。霍尔特-温特斯法最初是由彼得提出的，后来他们一起研究。

Holt-Winters的方法适用于具有趋势和季节性的数据，其包括季节性平滑参数γγ。 此方法有两种变体：

  • 加法方法：整个序列的季节变化基本保持不变。
  • 乘法方法：季节变化与系列水平成比例变化。

在这里，我们运行完整的Holt-Winters方法，包括趋势组件和季节性组件。 Statsmodels允许所有组合，包括如下面的示例所示：

  1. 在fit1中，我们使用加法趋势，周期season_length = 4的加性季节和Box-Cox变换。
  2. 在fit2中，我们使用加法趋势，周期season_length = 4的乘法季节和Box-Cox变换。
  3. 在fit3中，我们使用加性阻尼趋势，周期season_length = 4的加性季节和Box-Cox变换。
  4. 在fit4中，我们使用加性阻尼趋势，周期season_length = 4的乘法季节和Box-Cox变换。
  1. data_sr = pd.Series(data)
  2. fit1 = ExponentialSmoothing(data_sr, seasonal_periods=4, trend='add', seasonal='add').fit(use_boxcox=True)
  3. fit2 = ExponentialSmoothing(data_sr, seasonal_periods=4, trend='add', seasonal='mul').fit(use_boxcox=True)
  4. fit3 = ExponentialSmoothing(data_sr, seasonal_periods=4, trend='add', seasonal='add', damped=True).fit(use_boxcox=True)
  5. fit4 = ExponentialSmoothing(data_sr, seasonal_periods=4, trend='add', seasonal='mul', damped=True).fit(use_boxcox=True)
  7. l1, = plt.plot(list(fit1.fittedvalues) + list(fit1.forecast(5)), marker='^')
  8. l2, = plt.plot(list(fit2.fittedvalues) + list(fit2.forecast(5)), marker='*')
  9. l3, = plt.plot(list(fit3.fittedvalues) + list(fit3.forecast(5)), marker='.')
  10. l4, = plt.plot(list(fit4.fittedvalues) + list(fit4.forecast(5)), marker='.')
  12. l5, = plt.plot(data, marker='.')
  13. plt.legend(handles = [l1, l2, l3, l4, l5], labels = ["aa", "am", "aa damped", "am damped","data"], loc = 'best', prop={'size': 7})
  15. plt.show()

image.png

总而言之，我们通过3个指数平滑模型的机制和python代码。 如下表所示，我提供了一种为数据集选择合适模型的方法。
image.png

总结了指数平滑方法中不同分量形式的平滑参数。
image.png

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