1.1 概率

概率的计算

加法公式

对任意事件 A、B, 有

设 A1、A2、A3 为任意三个事件, 则

乘法公式

或

表示在A发生的条件下，B发生的概率

全概率公式

设 Ω 为随机试验 E 的样本空间,B1,B2,···,Bn 为一组事件, 且满足下列条件:
(1)B1,B2,···,Bn两两互斥,且
(2)P(B)>0, i=1, 2, ···, n.
则对任意的事件 A 有

贝叶斯公式

设Ω为随机试验E的样本空间,B1,B2,···,Bn 为样本空间Ω的一个划分,且P(A)>0, P(B)>0, i=1, 2, ···, n,则有

概率习题

小王参加智力大赛，能答出 A 类题目的概率为 0.7，能答出 B 类题目的概率为 0.2，两类都能答出的概率为 0.1。问：

1. 答出 A 但答不出 B 的概率？
2. 至少答出一类问题的概率？
3. 两类都答不出的概率？

答：

古典概率

等可能概率(古典概率)：掷硬币、掷骰子

• 样本空间只包含有限个元素；
• 每个基本事件发生的可能性相同；

1. 分房模型(小球入盒问题)

有 n 个粒子，每个粒子都以同样的概率落入 N (N≥n) 个格子中的每一格子中，求以下概率：
(1) A = {指定的 n 个格子中各有一粒子};
(2) B = {恰有 n 个格子中各有一粒子}.

答：
(1) A 所包含的样本点数即为 n 个粒子的全排列 n!，从而
(2) 因为 n 个格子可以在 N 个格子中任意选取, 取法有 种，对选定的 n 个格子,由 (1) 的讨论有 n! 种落法，所以 B 包含的样本点数为，故 B 的概率为
❓ 我没看懂这个

上述例子中, 如将格子解释为粒子的状态空间中的小区域, 就成为统计物理中 的模型, 这一模型是由 Maxwell-Boltzmann 提出的. 若将格子看成房子，该模型就称为分房模型. 若题设条件改变, 还可得到其他物理问题的数学模型.

2. 生日问题

求参加某次集会的 50 人中：
(1) 生日全不相同的概率;
(2) 至少有两人的生日在同一天的概率.
答：
令 B = {50 人生日全不相同}, A = {至少有两人的生日在同一天}. 我 们可把每个人看作上例问题中的粒子, 这里 n = 50, 而把一年 365 天看作格子, 则 N = 365, 由上题的解答可知, . 由于事件 A 是事件 B 的对立事件, 因此

3. 抽签原理

4. 抽样模型

某批产品有 m 件，其中 a 件次品，b 件正品。
问题1：放回抽样 n 件，正好有 k 件次品的概率；
问题2：不放回抽样 n 件，正好有 k 件次品的概率；

解问题1：
总共有 mn 种取法

条件概率

事件 A 已经发生的条件下，事件 B 发生的概率。表示为 。

举例：一枚硬币抛掷两次，
事件 A「至少有一次为正面」，事件 B「两次掷出同一面」，求事件 A 已发生的条件下事件 B 发生的概率。