概率论与数理统计 - 参数估计 - 《Analyst Ning》

1. 参数估计的基本原理
2. 一个总体参数
3. 两个总体参数

参数估计 - 图1

1. 参数估计的基本原理

估计量与估计值

例如：样本均值参数估计 - 图2 ，这里的参数估计 - 图3 就是估计量，80 是估计值。
估计量有样本均值、样本比例、样本方差等

估计方法

参数估计 - 图4

A. 点估计

用样本的估计值直接作为总体参数的估计值
如：用样本均值直接作为总体均值
缺点：不知道样本估计值与总体参数之间的差距

B. 区间估计

在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围。该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的。
例如：当描述一个人的体重时，你一般可能不会说这个人是 76.45 公斤，而说这个人是七八十公斤(70公斤-80公斤)。你提供的这个范围就是某种区间估计。

为了估计某候选人在选民中的支持率（即总体比例 p)，调查机构的民意测验可能会说，该候选人的“支持率为 75%，误差是 ±3 %，置信度为 95%”。这种说法意味着下面三点：

样本中的支持率为 75%，这是用样本比例作为对总体比例的点估计。
估计范围为 75% ± 3%(±3%的误差），即区间(72%， 78%)。
如果用类似的方式，重复抽取大量（样本量相同的）样本时，产生的大量类似区间中有些会覆盖真正的 p，而有些不会，但这些区间中大约有 95% 会覆盖真正的总体比例。

这样得到的区间被称为总体比例 p 的置信度(confidence level)为 95% 的置信区间(confidence interval)。这里的置信度又称置信水平或置信系数。

显著性水平置信水平

显著性水平是估计总体参数落在某一区间内，可能犯错误的概率，用α表示。显著性是对差异的程度而言的，程度不同说明引起变动的原因也有不同。

置信度 = 1-α，其表明了区间估计的可靠性。

错误：置信度为 95%，也就是说 95% 的样本都落在了阴影里。
这句话说是错误的，但我没懂。

如何评价估计量的优良性

无偏性：估计量抽样分布的数学期望 = 被估计的总体参数
有效性：对同一总体参数给出的两个无偏点估计量，有更小标准差的更有效
一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近于总体参数

2. 一个总体参数

总体参数符号表示样本统计量
均值参数估计 - 图6 参数估计 - 图7
比例参数估计 - 图8 参数估计 - 图9
方差参数估计 - 图10 参数估计 - 图11

参数估计 - 图12

总体均值的区间估计

确定前提条件：

是否正态分布？
方差是否已知？
小样本还是大样本？(样本量 ≥30 是大样本，这是是统计学家的经验得出的)

情况 1：服从正态分布，方差已知

参数估计 - 图13 (这里的 z 是正态分布统计量)

情况 2：方差未知，大样本。不服从正态分布，但可以用正态分布来近似。

参数估计 - 图14

Q：一批食品中随机抽取 25 袋，测得每袋重量如下图：我们已经知道产品重量分布服从正态分布，且总体标准差为 10g。要求估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为 95%。

A：使用上面第一种情况的公式很容易算出来标准差给出了是 10 置信水平 90% 所以 = 1-95% = 0.05 是正态分布统计量，需要从正态分布表来查，是 1.96 (这个很常见，需要记住) n 是样本量 25 所以置信区间为

Q：一家保险公司随机抽取了 36 个投保人的年龄如下，请建立投保人年龄 90%的置信区间。

A：根据第二个公式已知计算可得这里不知道总体标准差，所以需要自己算样本标准差