一、排序算法
- 1、排序算法的介绍
- 2、排序算法的分类
二、算法的复杂度分析
- 1、算法的时间复杂度
- 2、算法的空间复杂度
三、冒泡排序
四、选择排序
五、插入排序
六、希尔排序
七、快速排序
八、归并排序
九、基数排序（桶排序）
十、常用排序算法总结和对比
- 1、排序算法的比较图
- 2、相关术语解释
第二章查找算法

资料来源：https://www.bilibili.com/video/BV1E4411H73v?p=50

一、排序算法

1、排序算法的介绍

排序也称排序算法(Sort Algorithm) ，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。

2、排序算法的分类

1、内部排序：
指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器(内存)中进行排序。
2、外部排序法：
数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储(文件等)进行排序。
3、常见的排序算法分类:

二、算法的复杂度分析

1、算法的时间复杂度

1.1 度量程序（算法）执行时间的两种方法

1）事后统计的方法
这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快
2）事前估算的方法
通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优

1.2 时间频度

2.1 基本介绍

时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为 T(n) 。

2.2 举例说明 - 基本案例

比如计算 1- 100 所有数字之和, 我们设计两种算法：
时间复杂度为：T(n)=n+1
时间复杂度为：T(n)=1

2.3 举例说明 - 忽略常数项

结论：
1) 2n+20 和 2n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 20 可以忽略
2) 3n+ 10 和 3n 随着 n 变大，执行曲线无限接近, 10 可以忽略

2.4 举例说明 - 忽略低次项

结论：
1) 2n^2 + 3n + 10 和 2n^2 随着 n 变大，执行曲线无限接近，可以忽略3n + 10
2) n^2 + 5n + 20 和 n^2 随着 n 变大，执行曲线无限接近，可以忽略 5n + 20

2.5 举例说明 - 忽略系数

结论：
1) 随着 n 值变大，5n^2 + 7n 和 3n^2 + 2n，执行曲线重合，说明这种情况下，5 和 3 可以忽略
2) 而 n^3 + 5n 和 6n^3 + 4n，执行曲线分离，说明多少次方式关键

1.3 时间复杂度

1）一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数，用 T(n)表示，若有某个辅助函数 f(n) ，使得当 n 趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n)是 T(n)的同数量级函数。记作 T(n)= Ｏ( f(n) ) ，称Ｏ( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
2) T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的 T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。
3) 计算时间复杂度的方法：

用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+ 1
修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+ 1 => T(n) = n²
去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)
1.4 常见的时间复杂度

1) 常数阶O( 1)
2) 对数阶 O(log2n)
3) 线性阶 O(n)
4) 线性对数阶 O(nlog2n)
5) 平方阶 O(n^2)
6) 立方阶 O(n^3)
7) k 次方阶 O(n^k)
8) 指数阶 O(2^n)
常见的时间复杂度对应的图：

说明：

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο( 1) ＜ Ο(log2n) ＜ Ο(n) ＜ Ο(nlog2n) ＜ Ο(n2) ＜ Ο(n3) ＜ Ο(nk) ＜ Ο(2n) ，随着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法

1) 常数阶 O( 1)
无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度

2) 对数阶O(log2n)

说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n)

3）线性阶O(n)

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

4）线性对数阶O(nlogN)

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

5) 平方阶O(n²)

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)

6) 立方阶 O(n³) 、K 次方阶O(n^k)
说明：参考上面的 O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层 n 循环，其它的类似

1.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1）平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2）最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
3）平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关
图片8.png

2、算法的空间复杂度

1、类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度（Space Complexity）定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数。
2、空间复杂度（Space Complexity）是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关，它随着 n 的增大而增大，当 n 较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法, 基数排序就属于这种情况
3、在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品（redis, memcache）和算法（基数排序）本质就是用空间换时间

三、冒泡排序

1、基本介绍

冒泡排序（Bubble Sorting）的基本思想是：通过对待排序序列从前向后（从下标较小的元素开始）,依次比较相邻元素的值，若发现逆序则交换，使值较大的元素逐渐从前移向后部，就象水底下的气泡一样逐渐向上冒。

优化：
因为排序的过程中，各元素不断接近自己的位置，如果一趟比较下来没有进行过交换，就说明序列有序，因此要在排序过程中设置一个标志 flag 判断元素是否进行过交换。从而减少不必要的比较。（这里说的优化，可以在冒泡排序写好后，在进行）

2、演示冒泡过程的图解

小结上面的图解过程

一共进行（数组的大小 - 1）次大的循环
每一趟排序的次数在逐渐的减少

如果我们发现在某趟排序中，没有发生一次交换，可以提前结束冒泡排序。这个就是优化

3、冒泡排序应用实例

我们举一个具体的案例来说明冒泡法。我们将五个无序的数：3, 9, - 1, 10, -2 使用冒泡排序法将其排成一个从小到大的有序数列

public void bubbleSort1() {
  int arr[] = {3, 9, -1, 30, 20};
  int temp = 0; // 临时变量
  // 第一趟排序，就是将第一大的数排在倒数第一位
  for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 0; j++) {
      // 如果前面的数比后面的数大，则交换
      if (arr[j] > arr[j + 1]) {
          temp = arr[j];
          arr[j] = arr[j + 1];
          arr[j + 1] = temp;
      }
  }
  System.out.println("第一趟排序后的数组");
  System.out.println(Arrays.toString(arr));
  // 第二趟排序，就是将第二大的数排在倒数第二位
  for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 1; j++) {
      // 如果前面的数比后面的数大，则交换
      if (arr[j] > arr[j + 1]) {
          temp = arr[j];
          arr[j] = arr[j + 1];
          arr[j + 1] = temp;
      }
  }
  System.out.println("第二趟排序后的数组");
  System.out.println(Arrays.toString(arr));
  // 第三趟排序，就是将第三大的数排在倒数第三位
  for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 2; j++) {
      // 如果前面的数比后面的数大，则交换
      if (arr[j] > arr[j + 1]) {
          temp = arr[j];
          arr[j] = arr[j + 1];
          arr[j + 1] = temp;
      }
  }
  System.out.println("第三趟排序后的数组");
  System.out.println(Arrays.toString(arr));
  // 第四趟排序，就是将第4大的数排在倒数第4位
  for (int j = 0; j < arr.length - 1 - 3; j++) {
      // 如果前面的数比后面的数大，则交换
      if (arr[j] > arr[j + 1]) {
          temp = arr[j];
          arr[j] = arr[j + 1];
          arr[j + 1] = temp;
      }
  }
  System.out.println("第四趟排序后的数组");
  System.out.println(Arrays.toString(arr));
}

public class BubbleSort {
  public static void main(String[] args) {
      // int arr[] = {3, 9, -1, 10, 20};
      // 为了容量理解，我们把冒泡排序的演变过程，给大家展示
      // 测试一下冒泡排序的速度O(n^2), 给80000个数据，测试
      // 创建要给80000个的随机的数组
      int[] arr = new int[80000];
      for(int i =0; i < 80000;i++) {
          arr[i] = (int)(Math.random() * 8000000); //生成一个[0, 8000000) 数
      }
      Date data1 = new Date();
      SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
      String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
      System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
      // 测试冒泡排序
      bubbleSort(arr);
      Date data2 = new Date();
      String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
      System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);
      // System.out.println("排序后");
      // System.out.println(Arrays.toString(arr));
  }
  // 将前面额冒泡排序算法，封装成一个方法
  public static void bubbleSort(int[] arr) {
      // 冒泡排序 的时间复杂度 O(n^2), 自己写出
      int temp = 0; // 临时变量
      boolean flag = false; // 标识变量，表示是否进行过交换
      for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
          for (int j = 0; j < arr.length - 1 - i; j++) {
              // 如果前面的数比后面的数大，则交换
              if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                  flag = true;
                  temp = arr[j];
                  arr[j] = arr[j + 1];
                  arr[j + 1] = temp;
              }
          }
          // System.out.println("第" + (i + 1) + "趟排序后的数组");
          // System.out.println(Arrays.toString(arr));
          // 若在一趟排序中，一次交换都没有发生过，说明不需要再进行排序
          if (!flag) { 
              break;
          } else {
              flag = false; // 重置flag!!!, 进行下次判断
          }
      }
  }
}

四、选择排序

1、基本介绍

选择式排序也属于内部排序法，是从欲排序的数据中，按指定的规则选出某一元素，再依规定交换位置后达到排序的目的。

2、选择排序思想

选择排序（ select sorting）也是一种简单的排序方法。它的基本思想是：第一次从arr[0]~arr[n- 1]中选取最小值，与 arr[0]交换，第二次从 arr[ 1]~arr[n- 1]中选取最小值，与arr[ 1]交换，第三次从arr[2]~arr[n- 1]中选取最小值，与arr[2] 交换，… ，第 i 次从 arr[i- 1]~arr[n- 1]中选取最小值，与arr[i- 1]交换，…, 第n- 1 次从arr[n-2]~arr[n- 1]中选取最小值，与 arr[n-2]交换，总共通过 n- 1 次，得到一个按排序码从小到大排列的有序序列。

3、选择排序思路分析图

对一个数组的选择排序再进行讲解

4、选择排序应用实例

有一群牛 , 颜值分别是 101, 34, 119, 1 请使用选择排序从低到高进行排序 [ 101, 34, 119, 1] ```java public void selectSort1() {

int [] arr = {101, 34, 119, 1};

// 使用逐步推导的方式来，讲解选择排序 // 第1轮 // 原始的数组： 101, 34, 119, 1 // 第一轮排序: 1, 34, 119, 101 // 算法先简单—》做复杂，就是可以把一个复杂的算法，拆分成简单的问题-》逐步解决

// 第1轮 int minIndex = 0; int min = arr[0]; for(int j = 0 + 1; j < arr.length; j++) {

  if (min > arr[j]) {     //说明假定的最小值，并不是最小
      min = arr[j];         //重置min
      minIndex = j;         //重置minIndex
  }

} // 将最小值，放在arr[0], 即交换 if(minIndex != 0) {

  arr[minIndex] = arr[0];
  arr[0] = min;

} System.out.println(“第1轮后：”); System.out.println(Arrays.toString(arr));// 1, 34, 119, 101

// 第2轮
minIndex = 1;
min = arr[1];
for (int j = 1 + 1; j < arr.length; j++) {
    if (min > arr[j]) {     // 说明假定的最小值，并不是最小
        min = arr[j];         // 重置min
        minIndex = j;         // 重置minIndex
    }
}
// 将最小值，放在arr[0], 即交换
if(minIndex != 1) {
    arr[minIndex] = arr[1];
    arr[1] = min;
}
System.out.println("第2轮后：");
System.out.println(Arrays.toString(arr));    // 1, 34, 119, 101
//第3轮
minIndex = 2;
min = arr[2];
for (int j = 2 + 1; j < arr.length; j++) {
    if (min > arr[j]) {     // 说明假定的最小值，并不是最小
        min = arr[j];         // 重置min
        minIndex = j;         // 重置minIndex
    }
}
// 将最小值，放在arr[0], 即交换
if (minIndex != 2) {
    arr[minIndex] = arr[2];
    arr[2] = min;
}
System.out.println("第3轮后：");
System.out.println(Arrays.toString(arr));    // 1, 34, 101, 119

}

```java
public class SelectSort {
    public static void main(String[] args) {
        //int [] arr = {101, 34, 119, 1, -1, 90, 123};
        // 创建要给80000个的随机的数组
        int[] arr = new int[80000];
        for (int i = 0; i < 80000; i++) {
            arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
        }
        System.out.println("排序前");
        //System.out.println(Arrays.toString(arr));
        Date data1 = new Date();
        SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
        String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
        System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
        selectSort(arr);
        Date data2 = new Date();
        String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
        System.out.println("排序前的时间是=" + date2Str);
        //System.out.println("排序后");
        //System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
    // 选择排序
    public static void selectSort(int[] arr) {
        // 在推导的过程，我们发现了规律，因此，可以使用for来解决
        // 选择排序时间复杂度是 O(n^2)
        for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
            int minIndex = i;
            int min = arr[i];
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
                if (min > arr[j]) {     // 说明假定的最小值，并不是最小
                    min = arr[j];         // 重置min
                    minIndex = j;         // 重置minIndex
                }
            }
            // 将最小值，放在arr[0], 即交换
            if (minIndex != i) {
                arr[minIndex] = arr[i];
                arr[i] = min;
            }
            //System.out.println("第"+(i+1)+"轮后~~");
            //System.out.println(Arrays.toString(arr));// 1, 34, 119, 101
        }
    }
}

五、插入排序

1、插入排序介绍

插入式排序属于内部排序法，是对于欲排序的元素以插入的方式找寻该元素的适当位置，以达到排序的目的

2、插入排序思想

插入排序（Insertion Sorting）的基本思想是：把 n 个待排序的元素看成为一个有序表和一个无序表，开始时有序表中只包含一个元素，无序表中包含有 n-1 个元素，排序过程中每次从无序表中取出第一个元素，把它的排序码依次与有序表元素的排序码进行比较，将它插入到有序表中的适当位置，使之成为新的有序表

3、插入排序思路图

4、插入排序应用实例

有一群小牛, 考试成绩分别是 101, 34, 119, 1 请从小到大排序
图片2.png

// 插入排序
@Test
public void insertSort1() {
    int[] arr = {101, 34, 119, 1};
    // 使用逐步推导的方式来讲解，便利理解
    // 第1轮 
    // 首先是：{101, 34, 119, 1}     =>         {101, 101, 119, 1}
    // 然后是：{101, 34, 119, 1}      =>         {34, 101, 119, 1}
    // 定义待插入的数
    int insertVal = arr[1];
    int insertIndex = 1 - 1; // 即arr[1]的前面这个数的下标
    // 给insertVal 找到插入的位置
    // 说明
    // 1. insertIndex >= 0 保证在给insertVal 找插入位置，不越界
    // 2. insertVal < arr[insertIndex] 待插入的数，还没有找到插入位置
    // 3. 就需要将 arr[insertIndex] 后移
    while(insertIndex >= 0 && insertVal < arr[insertIndex] ) {
        arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];
        insertIndex--;
    }
    // 当退出while循环时，说明插入的位置找到, 此时的数据为： {101, 101, 119, 1}
    arr[insertIndex + 1] = insertVal;  // 转换后的数据为：{34, 101, 119, 1}
    System.out.println("第1轮插入");
    System.out.println(Arrays.toString(arr));
    // 第2轮
    insertVal = arr[2];
    insertIndex = 2 - 1;
    while(insertIndex >= 0 && insertVal < arr[insertIndex] ) {
        arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];
        insertIndex--;
    }
    arr[insertIndex + 1] = insertVal;
    System.out.println("第2轮插入");
    System.out.println(Arrays.toString(arr));
    // 第3轮
    insertVal = arr[3];
    insertIndex = 3 - 1;
    while (insertIndex >= 0 && insertVal < arr[insertIndex]) {
        arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];
        insertIndex--;
    }
    arr[insertIndex + 1] = insertVal;
    System.out.println("第3轮插入");
    System.out.println(Arrays.toString(arr));
}

public class InsertSort {
    public static void main(String[] args) {
        // int[] arr = {101, 34, 119, 1, -1, 89};
        // 创建要给80000个的随机的数组
        int[] arr = new int[80000];
        for (int i = 0; i < 80000; i++) {
            arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
        }
        System.out.println("插入排序前");
        Date data1 = new Date();
        SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
        String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
        System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);    // 2022-04-09 10:35:35
        // 调用插入排序算法
        insertSort(arr); 
        Date data2 = new Date();
        String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
        System.out.println("排序前的时间是=" + date2Str);    // 2022-04-09 10:35:36
        // System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
    // 插入排序
    public static void insertSort(int[] arr) {
        int insertVal = 0;
        int insertIndex = 0;
        // 使用for循环来把代码简化
        for(int i = 1; i < arr.length; i++) {
            // 定义待插入的数
            insertVal = arr[i];
            insertIndex = i - 1; // 即arr[1]的前面这个数的下标
            // 给insertVal 找到插入的位置
            // 说明
            // 1. insertIndex >= 0 保证在给insertVal 找插入位置，不越界
            // 2. insertVal < arr[insertIndex] 待插入的数，还没有找到插入位置
            // 3. 就需要将 arr[insertIndex] 后移，此时的数据结构中有两个相同的元素arr[insertIndex]
            // 若要求从大到小排序：设置条件为insertVal > arr[insertIndex]
            while (insertIndex >= 0 && insertVal < arr[insertIndex]) {
                arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];// arr[insertIndex]
                insertIndex--;
            }
            // 当退出while循环时，说明插入的位置找到, insertIndex + 1
            // 这里我们判断是否需要赋值。如果insertIndex + 1 == i，说明没有进入while循环体内，没有进行比较操作。
            // 同时arr[insertIndex + 1] = arr[i] = insertVal，就没必要再进行赋值操作
            if(insertIndex + 1 != i) {
                arr[insertIndex + 1] = insertVal;
            }
            // System.out.println("第"+i+"轮插入");
            // System.out.println(Arrays.toString(arr));
        }
    }
}

六、希尔排序

1、简单插入排序存在的问题

我们看简单的插入排序可能存在的问题
数组 arr = {2, 3, 4, 5, 6, 1} 这时需要插入的数1（最小）, 这样的过程是：
{2, 3, 4, 5, 6, 6}
{2, 3, 4, 5, 5, 6}
{2, 3, 4, 4, 5, 6}
{2, 3, 3, 4, 5, 6}
{2, 2, 3, 4, 5, 6}
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
结论: 当需要插入的数是较小的数时，后移的次数明显增多，对效率有影响

2、希尔排序法介绍

希尔排序是希尔（Donald Shell）于 1959 年提出的一种排序算法。希尔排序也是一种插入排序，它是简单插入排序经过改进之后的一个更高效的版本，也称为缩小增量排序

3、希尔排序法基本思想

希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至 1 时，整个文件恰被分成一组，算法便终止

4、希尔排序法的示意图

图片3.png

5、希尔排序法应用实例

有一群小牛, 考试成绩分别是 {8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0} 请从小到大排序。请分别使用：

希尔排序时，对有序序列在插入时采用交换法，并测试排序速度

希尔排序时，对有序序列在插入时采用移动法，并测试排序速度

5.1 交换法

// 使用逐步推导的方式来编写希尔排序
// 希尔排序时， 对有序序列在插入时采用交换法,
// 思路(算法) ===> 代码
@Test
public void shellSort1() {
int[] arr = { 8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0 };
int temp = 0;
// 希尔排序的第1轮排序
// 因为第1轮排序，是将10个数据分成了5组
for (int i = 5; i < arr.length; i++) {
   // 遍历各组中所有的元素（共5组，每组有2个元素）, 步长5
   for (int j = i - 5; j >= 0; j -= 5) {
       // 如果当前元素大于加上步长后的那个元素，说明交换
       if (arr[j] > arr[j + 5]) {
           temp = arr[j];
           arr[j] = arr[j + 5];
           arr[j + 5] = temp;
       }
   }
}
System.out.println("希尔排序1轮后 = " + Arrays.toString(arr));
// 希尔排序的第2轮排序
// 因为第2轮排序，是将10个数据分成了 5/2 = 2组
for (int i = 2; i < arr.length; i++) {
   // 遍历各组中所有的元素（共5组，每组有2个元素）, 步长5
   for (int j = i - 2; j >= 0; j -= 2) {
       // 如果当前元素大于加上步长后的那个元素，说明交换
       if (arr[j] > arr[j + 2]) {
           temp = arr[j];
           arr[j] = arr[j + 2];
           arr[j + 2] = temp;
       }
   }
}
System.out.println("希尔排序2轮后 = " + Arrays.toString(arr));
// 希尔排序的第3轮排序
// 因为第3轮排序，是将10个数据分成了 2/2 = 1组
for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
   // 遍历各组中所有的元素(共5组，每组有2个元素), 步长5
   for (int j = i - 1; j >= 0; j -= 1) {
       // 如果当前元素大于加上步长后的那个元素，说明交换
       if (arr[j] > arr[j + 1]) {
           temp = arr[j];
           arr[j] = arr[j + 1];
           arr[j + 1] = temp;
       }
   }
}
System.out.println("希尔排序3轮后 = " + Arrays.toString(arr));
}

public class ShellSort {
public static void main(String[] args) {
   // 创建要给80000个的随机的数组
   int[] arr = new int[8000000];
   for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
       arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
   }
   System.out.println("排序前");
   Date data1 = new Date();
   SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
   String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
   System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
   shellSort(arr); //交换式
   Date data2 = new Date();
   String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
   System.out.println("排序前的时间是=" + date2Str);
   // System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
public static void shellSort(int[] arr) {
   int temp = 0;
   // 根据前面的逐步分析，使用循环处理
   for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2) {
       for (int i = gap; i < arr.length; i++) {
           // 遍历各组中所有的元素(共gap组，每组有个元素), 步长gap
           for (int j = i - gap; j >= 0; j -= gap) {
               // 如果当前元素大于加上步长后的那个元素，说明交换
               if (arr[j] > arr[j + gap]) {
                   temp = arr[j];
                   arr[j] = arr[j + gap];
                   arr[j + gap] = temp;
               }
           }
       }
       // System.out.println("希尔排序第" + (++count) + "轮 =" + Arrays.toString(arr));
   }
}
}

5.2 移位法

public class ShellSort {
public static void main(String[] args) {
   //int[] arr = { 8, 9, 1, 7, 2, 3, 5, 4, 6, 0 };
   // 创建要给80000个的随机的数组
   int[] arr = new int[8000000];
   for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
       arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
   }
   System.out.println("排序前");
   Date data1 = new Date();
   SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
   String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
   System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
   //shellSort(arr); //交换式
   shellSort2(arr);//移位方式
   Date data2 = new Date();
   String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
   System.out.println("排序前的时间是=" + date2Str);
   //System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
// 对交换式的希尔排序进行优化 -> 移位法
public static void shellSort2(int[] arr) {
   // 增量gap, 并逐步的缩小增量
   for (int gap = arr.length / 2; gap > 0; gap /= 2) {
       // 从第gap个元素，逐个对其所在的组进行直接插入排序
       for (int i = gap; i < arr.length; i++) {
           int j = i;
           int temp = arr[j];
           if (arr[j] < arr[j - gap]) {
               while (j - gap >= 0 && temp < arr[j - gap]) {
                   // 移动
                   arr[j] = arr[j-gap];
                   j -= gap;
               }
               //当退出while后，就给temp找到插入的位置
               arr[j] = temp;
           }
       }
   }
}
}

七、快速排序

1、快速排序介绍

快速排序（Quicksort）是对冒泡排序的一种改进。基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列

2、快速排序法示意图

图片4.png

3、快速排序法应用实例

要求：对 [-9, 78, 0, 23, -567, 70] 进行从小到大的排序，要求使用快速排序法。【测试8w 和800w】
说明[验证分析]：

如果取消左右递归，结果是：-9 -567 0 23 78 70
如果取消右递归，结果是：-567 -9 0 23 78 70

如果取消左递归，结果是：-9 -567 0 23 70 78

public class QuickSort {
public static void main(String[] args) {
   //int[] arr = {-9,78,0,23,-567,70, -1,900, 4561};
   // 测试快排的执行速度
   // 创建要给80000个的随机的数组
   int[] arr = new int[8000000];
   for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
       arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
   }
   System.out.println("排序前");
   Date data1 = new Date();
   SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
   String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
   System.out.println("排序前的时间是 = " + date1Str);        // 2022-04-09 12:05:47
   quickSort(arr, 0, arr.length-1);
   Date data2 = new Date();
   String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
   System.out.println("排序后的时间是 = " + date2Str);        // 2022-04-09 12:05:48
   // System.out.println("arr=" + Arrays.toString(arr));
}
public static void quickSort(int[] arr, int left, int right) {
   int l = left;         // 左下标
   int r = right;         // 右下标
   // pivot 中轴值
   int pivot = arr[(left + right) / 2];
   // 临时变量，作为交换时使用
   int temp = 0;
   // while循环的目的是让比pivot 值小放到左边
   // 比pivot 值大放到右边
   while( l < r) { 
       // 在pivot的左边一直找,找到大于等于pivot值,才退出
       while( arr[l] < pivot) {
           l += 1;
       }
       // 在pivot的右边一直找,找到小于等于pivot值,才退出
       while(arr[r] > pivot) {
           r -= 1;
       }
       // 如果l >= r说明pivot 的左右两的值，已经按照左边全部是
       // 小于等于pivot值，右边全部是大于等于pivot值
       if( l >= r) {
           break;
       }
       // 交换
       temp = arr[l];
       arr[l] = arr[r];
       arr[r] = temp;
       // 如果交换完后，发现这个arr[l] == pivot值 相等 r--， 前移
       if(arr[l] == pivot) {
           r -= 1;
       }
       // 如果交换完后，发现这个arr[r] == pivot值 相等 l++， 后移
       if(arr[r] == pivot) {
           l += 1;
       }
   }
   // 如果 l == r, 必须l++, r--, 否则为出现栈溢出
   if (l == r) {
       l += 1;
       r -= 1;
   }
   // 向左递归
   if(left < r) {
       quickSort(arr, left, r);
   }
   // 向右递归
   if(right > l) {
       quickSort(arr, l, right);
   }
}
}

八、归并排序

1、归并排序介绍

归并排序（MERGE-SORT）是利用归并的思想实现的排序方法，该算法采用经典的分治（divide-and-conquer）策略
分治法：将问题分（divide）成一些小的问题然后递归求解，而治（conquer）的阶段则将分的阶段得到的各答案”修补”在一起，即分而治之

2、归并排序思想示意图

2.1 基本思想

说明：可以看到这种结构很像一棵完全二叉树，本文的归并排序我们采用递归去实现（也可采用迭代的方式去实现）。分阶段可以理解为就是递归拆分子序列的过程。

2.2 合并相邻有序子序列

再来看看治阶段，我们需要将两个已经有序的子序列合并成一个有序序列，比如上图中的最后一次合并，要将[4, 5, 7, 8]和[1, 2, 3, 6]两个已经有序的子序列，合并为最终序列[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]，
来看下实现步骤：
图片6.png
图片7.png

3、归并排序的应用实例

给你一个数组，val arr = Array(8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2 )，请使用归并排序完成排序。

public class MergetSort {
public static void main(String[] args) {
   // int arr[] = { 8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2 };
   // 测试快排的执行速度
   // 创建要给80000个的随机的数组
   int[] arr = new int[8000000];
   for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
       arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
   }
   System.out.println("排序前");
   Date data1 = new Date();
   SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
   String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
   System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);    // 2022-04-09 13:43:10
   // 归并排序需要一个额外空间
   int temp[] = new int[arr.length];
    mergeSort(arr, 0, arr.length - 1, temp);
    Date data2 = new Date();
   String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
   System.out.println("排序后的时间是=" + date2Str);    // 2022-04-09 13:43:11
    // System.out.println("归并排序后=" + Arrays.toString(arr));
}
// 分 + 合方法
public static void mergeSort(int[] arr, int left, int right, int[] temp) {
   if(left < right) {
       int mid = (left + right) / 2; //中间索引
       // 向左递归进行分解
       mergeSort(arr, left, mid, temp);
       // 向右递归进行分解
       mergeSort(arr, mid + 1, right, temp);
       // 合并
       merge(arr, left, mid, right, temp);
   }
}
// 合并的方法
/**
* 
* @param arr         排序的原始数组
* @param left         左边有序序列的初始索引
* @param mid         中间索引
* @param right     右边索引
* @param temp         做中转的数组
*/
public static void merge(int[] arr, int left, int mid, int right, int[] temp) {
   int i = left;         // 初始化i, 左边有序序列的初始索引
   int j = mid + 1;     // 初始化j, 右边有序序列的初始索引
   int t = 0;             // 指向temp数组的当前索引
   // (一)
   // 先把左右两边(有序)的数据按照规则填充到temp数组
   // 直到左右两边的有序序列，有一边处理完毕为止
   while (i <= mid && j <= right) {    //继续
       // 如果左边的有序序列的当前元素，小于等于右边有序序列的当前元素
       // 即将左边的当前元素，填充到 temp数组
       // 然后 t++, i++
       if(arr[i] <= arr[j]) {
           temp[t] = arr[i];
           t += 1;
           i += 1;
       } else { // 反之，将右边有序序列的当前元素，填充到temp数组
           temp[t] = arr[j];
           t += 1;
           j += 1;
       }
   }
   // (二)
   // 把有剩余数据的一边的数据依次全部填充到temp
   while( i <= mid) {         // 左边的有序序列还有剩余的元素，就全部填充到temp
       temp[t] = arr[i];
       t += 1;
       i += 1;    
   }
   while( j <= right) {     // 右边的有序序列还有剩余的元素，就全部填充到temp
       temp[t] = arr[j];
       t += 1;
       j += 1;    
   }
   // (三)
   // 将temp数组的元素拷贝到arr
   // 注意，并不是每次都拷贝所有
   t = 0;
   int tempLeft = left; // 
   // 第一次合并 tempLeft = 0 , right = 1 //  tempLeft = 2  right = 3 // tL=0 ri=3
   // 最后一次 tempLeft = 0  right = 7
   while(tempLeft <= right) { 
       arr[tempLeft] = temp[t];
       t += 1;
       tempLeft += 1;
   }
}
}

九、基数排序（桶排序）

1、基数排序介绍

基数排序（radix sort）属于“分配式排序”（distribution sort），又称“桶子法”（bucket sort）或 bin sort，顾名思义，它是通过键值的各个位的值，将要排序的元素分配至某些“桶”中，达到排序的作用
基数排序法是属于稳定性的排序，基数排序法的是效率高的稳定性排序法
基数排序（Radix Sort）是桶排序的扩展

基数排序是1887年赫尔曼 ·何乐礼发明的。它是这样实现的：将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。

2、基数排序基本思想

将所有待比较数值统一为同样的数位长度，数位较短的数前面补零。然后，从最低位开始，依次进行一次排序。这样从最低位排序一直到最高位排序完成以后, 数列就变成一个有序序列。

3、基数排序图文说明

将数组 {53, 3, 542, 748, 14, 214} 使用基数排序, 进行升序排序

4、基数排序代码实现

要求：将数组 {53, 3, 542, 748, 14, 214} 使用基数排序, 进行升序排序

public void radixSort1() {
int arr[] = { 53, 3, 542, 748, 14, 214};
// 定义一个二维数组，表示10个桶, 每个桶就是一个一维数组
// 1. 二维数组包含10个一维数组
// 2. 为了防止在放入数的时候，数据溢出，则每个一维数组(桶)，大小定为arr.length
// 3. 名明确，基数排序是使用空间换时间的经典算法
int[][] bucket = new int[10][arr.length];
// 为了记录每个桶中，实际存放了多少个数据，我们定义一个一维数组来记录各个桶的每次放入的数据个数
// 可以这里理解。比如：bucketElementCounts[0], 记录的就是bucket[0]桶的放入数据个数
int[] bucketElementCounts = new int[10];
// 第1轮（针对每个元素的个位进行排序处理）
for(int j = 0; j < arr.length; j++) {
   // 取出每个元素的个位的值
   int digitOfElement = arr[j] / 1 % 10;
   // 放入到对应的桶中
   bucket[digitOfElement][bucketElementCounts[digitOfElement]] = arr[j];
   bucketElementCounts[digitOfElement]++;
}
// 按照这个桶的顺序（一维数组的下标依次取出数据，放入原来数组）
int index = 0;
// 遍历每一桶，并将桶中的数据放入到原数组
for(int k = 0; k < bucketElementCounts.length; k++) {
   // 如果桶中有数据，我们才放入到原数组
   if(bucketElementCounts[k] != 0) {
       // 循环该桶即第k个桶（即第k个一维数组），放入
       for(int l = 0; l < bucketElementCounts[k]; l++) {
           // 取出元素放入到arr
           arr[index++] = bucket[k][l];
       }
   }
   // 第1轮处理后，需要将每个bucketElementCounts[k] = 0 ！！！！
   bucketElementCounts[k] = 0;
}
System.out.println("第1轮，对个位的排序处理 arr =" + Arrays.toString(arr));
// 第2轮（针对每个元素的十位进行排序处理）
for (int j = 0; j < arr.length; j++) {
   // 取出每个元素的十位的值
   int digitOfElement = arr[j] / 10  % 10; //748 / 10 => 74 % 10 => 4
   // 放入到对应的桶中
   bucket[digitOfElement][bucketElementCounts[digitOfElement]] = arr[j];
   bucketElementCounts[digitOfElement]++;
}
// 按照这个桶的顺序(一维数组的下标依次取出数据，放入原来数组)
index = 0;
// 遍历每一桶，并将桶中是数据，放入到原数组
for (int k = 0; k < bucketElementCounts.length; k++) {
   // 如果桶中，有数据，我们才放入到原数组
   if (bucketElementCounts[k] != 0) {
       // 循环该桶即第k个桶(即第k个一维数组), 放入
       for (int l = 0; l < bucketElementCounts[k]; l++) {
           // 取出元素放入到arr
           arr[index++] = bucket[k][l];
       }
   }
   // 第2轮处理后，需要将每个bucketElementCounts[k] = 0 ！！！！
   bucketElementCounts[k] = 0;
}
System.out.println("第2轮，对个位的排序处理 arr =" + Arrays.toString(arr));
// 第3轮（针对每个元素的百位进行排序处理）
for (int j = 0; j < arr.length; j++) {
   // 取出每个元素的百位的值
   int digitOfElement = arr[j] / 100 % 10; // 748 / 100 => 7 % 10 = 7
   // 放入到对应的桶中
   bucket[digitOfElement][bucketElementCounts[digitOfElement]] = arr[j];
   bucketElementCounts[digitOfElement]++;
}
// 按照这个桶的顺序(一维数组的下标依次取出数据，放入原来数组)
index = 0;
// 遍历每一桶，并将桶中是数据，放入到原数组
for (int k = 0; k < bucketElementCounts.length; k++) {
   // 如果桶中，有数据，我们才放入到原数组
   if (bucketElementCounts[k] != 0) {
       // 循环该桶即第k个桶(即第k个一维数组), 放入
       for (int l = 0; l < bucketElementCounts[k]; l++) {
           // 取出元素放入到arr
           arr[index++] = bucket[k][l];
       }
   }
   // 第3轮处理后，需要将每个bucketElementCounts[k] = 0 ！！！！
   bucketElementCounts[k] = 0;
}
System.out.println("第3轮，对个位的排序处理 arr =" + Arrays.toString(arr));
}

public class RadixSort {
public static void main(String[] args) {
   int arr[] = { 53, 3, 542, 748, 14, 214};
   // 80000000 * 11 * 4 / 1024 / 1024 / 1024 =3.3G 
//        int[] arr = new int[8000000];
//        for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
//            arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
//        }
   System.out.println("排序前：");
   Date data1 = new Date();
   SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
   String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
   System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);
   radixSort(arr);
   Date data2 = new Date();
   String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
   System.out.println("排序前的时间是=" + date2Str);
   System.out.println("基数排序后 " + Arrays.toString(arr));
}
//基数排序方法
public static void radixSort(int[] arr) {
   //根据前面的推导过程，我们可以得到最终的基数排序代码
   // 1. 得到数组中最大的数的位数
   int max = arr[0]; //假设第一数就是最大数
   for(int i = 1; i < arr.length; i++) {
       if (arr[i] > max) {
           max = arr[i];
       }
   }
   // 得到最大数是几位数
   int maxLength = (max + "").length();
   //定义一个二维数组，表示10个桶, 每个桶就是一个一维数组
   //说明
   //1. 二维数组包含10个一维数组
   //2. 为了防止在放入数的时候，数据溢出，则每个一维数组(桶)，大小定为arr.length
   //3. 名明确，基数排序是使用空间换时间的经典算法
   int[][] bucket = new int[10][arr.length];
   //为了记录每个桶中，实际存放了多少个数据,我们定义一个一维数组来记录各个桶的每次放入的数据个数
   //可以这里理解
   //比如：bucketElementCounts[0] , 记录的就是  bucket[0] 桶的放入数据个数
   int[] bucketElementCounts = new int[10];
   //这里我们使用循环将代码处理
   for(int i = 0 , n = 1; i < maxLength; i++, n *= 10) {
       // (针对每个元素的对应位进行排序处理)， 第一次是个位，第二次是十位，第三次是百位..
       for(int j = 0; j < arr.length; j++) {
           // 取出每个元素的对应位的值
           int digitOfElement = arr[j] / n % 10;
           // 放入到对应的桶中
           bucket[digitOfElement][bucketElementCounts[digitOfElement]] = arr[j];
           bucketElementCounts[digitOfElement]++;
       }
       // 按照这个桶的顺序(一维数组的下标依次取出数据，放入原来数组)
       int index = 0;
       // 遍历每一桶，并将桶中的数据放入到原数组
       for(int k = 0; k < bucketElementCounts.length; k++) {
           // 如果桶中有数据，我们才放入到原数组
           if(bucketElementCounts[k] != 0) {
               // 循环该桶即第k个桶(即第k个一维数组), 放入
               for(int l = 0; l < bucketElementCounts[k]; l++) {
                   // 取出元素放入到arr
                   arr[index++] = bucket[k][l];
               }
           }
           // 第i+1轮处理后，需要将每个 bucketElementCounts[k] = 0 ！！！！
           bucketElementCounts[k] = 0;
       }
       // System.out.println("第"+(i+1)+"轮，对个位的排序处理 arr =" + Arrays.toString(arr));
   }
}
}

5、基数排序的说明

基数排序是对传统桶排序的扩展，速度很快
基数排序是经典的空间换时间的方式，占用内存很大, 当对海量数据排序时，容易造成 OutOfMemoryError。
基数排序时稳定的。
- 注意：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的
有负数的数组，我们不用基数排序来进行排序, 如果要支持负数，参考: https://code.i-harness.com/zh-CN/q/e98fa9
十、常用排序算法总结和对比
1、排序算法的比较图

2、相关术语解释
1) 稳定：如果 a 原本在 b 前面，而 a=b ，排序之后 a 仍然在b 的前面
2) 不稳定：如果 a 原本在 b 的前面，而 a=b ，排序之后 a 可能会出现在b 的后面
3) 内排序：所有排序操作都在内存中完成
4) 外排序：由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行
5) 时间复杂度：一个算法执行所耗费的时间
6) 空间复杂度：运行完一个程序所需内存的大小
7) n：数据规模
8) k：“桶”的个数
9) In-place：不占用额外内存
10) Out-place：占用额外内存

第二章查找算法

1、查找算法介绍

在java中，我们常用的查找有四种：

顺序(线性)查找
二分查找/折半查找
插值查找

斐波那契查找

2、线性查找算法

有一个数列： { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234} ，判断数列中是否包含此名称【顺序查找】
要求: 如果找到了，就提示找到，并给出下标值。

public class SeqSearch {
public static void main(String[] args) {
   int arr[] = { 1, 9, 11, -1, 34, 89 };// 没有顺序的数组
   int index = seqSearch(arr, -11);
   if(index == -1) {
       System.out.println("没有找到到");
   } else {
       System.out.println("找到，下标为=" + index);
   }
}
/**
* 这里我们实现的线性查找是找到一个满足条件的值，就返回。
* 若想找到所有满足条件的值，可以将找到的值放到一个数组中。
* @param arr
* @param value
* @return
*/
public static int seqSearch(int[] arr, int value) {
   // 线性查找是逐一比对，发现有相同值，就返回下标
   for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
       if(arr[i] == value) {
           return i;
       }
   }
   return -1;
}
}

3、二分查找算法

3.1 二分查找

请对一个有序数组进行二分查找 { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234} ，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示“没有这个数”

3.2 二分查找的思路

3.3 二分查找的代码

说明：增加了找到所有的满足条件的元素下标
课后思考题：{ 1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1234} 当一个有序数组中，有多个相同的数值时，如何将所有的数值都查找到，比如这里的1000

// 注意：使用二分查找的前提是 该数组是有序的.
public class BinarySearch {
public static void main(String[] args) {
   //int arr[] = { 1, 8, 10, 89,1000,1000, 1234 };
   int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,14,15,16,17,18,19,20 };
    // int resIndex = binarySearch(arr, 0, arr.length - 1, 12);
    // System.out.println("resIndex=" + resIndex);
   List<Integer> resIndexList = binarySearch2(arr, 0, arr.length - 1, 1);
   System.out.println("resIndexList=" + resIndexList);
}
/**       二分查找算法
* @param arr        数组
* @param left        左边的索引
* @param right        右边的索引
* @param findVal    要查找的值
* @return 如果找到就返回下标，如果没有找到，就返回-1
*/
public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
   // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
   if (left > right) {
       return -1;
   }
   int mid = (left + right) / 2;
   int midVal = arr[mid];
   if (findVal > midVal) {         // 从中间向右递归
       return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
   } else if (findVal < midVal) {  // 从左向中间递归
       return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
   } else {
       return mid;
   }
}
/**
* 课后思考题： {1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1234} 当一个有序数组中，
* 有多个相同的数值时，如何将所有的数值都查找到，比如这里的1000
* 
* 思路分析
* 1. 在找到 mid 索引值，不要马上返回
* 2. 向 mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000 的元素的下标，加入到集合ArrayList
* 3. 向 mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000 的元素的下标，加入到集合ArrayList
* 4. 将Arraylist返回
*/
public static List<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
   System.out.println("hello~");
   // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
   if (left > right) {
       return new ArrayList<Integer>();
   }
   int mid = (left + right) / 2;
   int midVal = arr[mid];
   if (findVal > midVal) {         // 从中间向右递归
       return binarySearch2(arr, mid + 1, right, findVal);
   } else if (findVal < midVal) {     // 从左向中间递归
       return binarySearch2(arr, left, mid - 1, findVal);
   } else {
       List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();
       // 向mid索引值的左边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayList
       int temp = mid - 1;
       while(true) {
           if (temp < 0 || arr[temp] != findVal) {    //退出
               break;
           }
           // 否则，就temp放入到resIndexlist
           resIndexlist.add(temp);
           temp -= 1;         // temp左移
       }
       resIndexlist.add(mid);  
       // 向mid索引值的右边扫描，将所有满足1000的元素的下标，加入到集合ArrayList
       temp = mid + 1;
       while(true) {
           if (temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal) {    // 退出
               break;
           }
           // 否则，就temp放入到resIndexlist
           resIndexlist.add(temp);
           temp += 1;         // temp右移
       }
       return resIndexlist;
   }
}
}

4、插值查找算法

4.1 插值查找原理介绍

1）插值查找算法类似于二分查找，不同的是插值查找每次从自适应mid处开始查找。
2）将折半查找中的求 mid 索引的公式，low 表示左边索引 left，high 表示右边索引 right。key就是前面我们讲的 findVal

3） int mid = low + (high - low) (key - arr[low]) / (arr[high] - arr[low]) ;/插值索引/
对应前面的代码公式：
**int mid = left + (right – left) (findVal – arr[left]) / (arr[right] – arr[left])**
4）举例说明插值查找算法1- 100 的数组

4.2 插值查找应用案例

请对一个有序数组进行插值查找 { 1, 8, 10, 89, 1000, 1234}，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示“没有这个数”

public class InsertValueSearch {
public static void main(String[] args) {
   int[] arr1 = new int[100];
   for(int i = 0; i < 100; i++) {
       arr1[i] = i + 1;
   }
   int[] arr = { 1, 8, 10, 89, 1000, 1000, 1234};
   int index = insertValueSearch(arr, 0, arr.length - 1, 1234);
   //int index = binarySearch(arr, 0, arr.length, 1);
   System.out.println("index = " + index);
   //System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
public static int binarySearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) {
   System.out.println("二分查找被调用：");
   // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
   if (left > right) {
       return -1;
   }
   int mid = (left + right) / 2;
   int midVal = arr[mid];
   if (findVal > midVal) { // 向 右递归
       return binarySearch(arr, mid + 1, right, findVal);
   } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
       return binarySearch(arr, left, mid - 1, findVal);
   } else {
       return mid;
   }
}
/**    编写插值查找算法
*       说明：插值查找算法，也要求数组是有序的
* @param arr         数组
* @param left         左边索引
* @param right     右边索引
* @param findVal     查找值
* @return             如果找到，就返回对应的下标，如果没有找到，返回-1
*/
public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal) { 
   System.out.println("插值查找次数：");
   // 注意：必须需要findVal < arr[0]  和  findVal > arr[arr.length - 1] ，否则我们得到的mid可能越界
   if (left > right || findVal < arr[0] || findVal > arr[arr.length - 1]) {
       return -1;
   }
   // 根据固定公式求出mid, 公式中含有findVal，所以mid自适应
   int mid = left + (right - left) * (findVal - arr[left]) / (arr[right] - arr[left]);
   int midVal = arr[mid];
   if (findVal > midVal) {         // 说明应该向右边递归
       return insertValueSearch(arr, mid + 1, right, findVal);
   } else if (findVal < midVal) {  // 说明向左递归查找
       return insertValueSearch(arr, left, mid - 1, findVal);
   } else {
       return mid;
   }
}
}

4.3 插值查找注意事项

对于数据量较大，关键字分布比较均匀的查找表来说，采用插值查找，速度较快
关键字分布不均匀的情况下，该方法不一定比折半查找要好
5、斐波那契（黄金分割法）查找算法
5.1 斐波那契查找基本介绍

黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意向不大的效果。
斐波那契数列 { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 } 发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值0.618

5.2 斐波那契原理
斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点（mid）的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即mid = low + F(k- 1) - 1（F代表斐波那契数列），如下图所示

对 F(k-1)-1 的理解：
由斐波那契数列F[k]=F[k- 1]+F[k-2]的性质，可以得到（F[k]- 1）=（F[k- 1]- 1）+（F[k-2]- 1）+1。该式说明：只要顺序表的长度为 F[k]- 1，则可以将该表分成长度为 F[k- 1] - 1和 F[k-2]- 1的两段，即如上图所示。从而中间位置为mid = low + F(k- 1) - 1
类似的，每一子段也可以用相同的方式分割
但顺序表长度 n 不一定刚好等于F[k]- 1，所以需要将原来的顺序表长度 n 增加至F[k]- 1。这里的k值只要能使得 F[k]- 1 恰好大于或等于n 即可，由以下代码得到顺序表长度增加后，新增的位置（从n+ 1到F[k]- 1 位置），都赋为 n 位置的值即可

while(n>fib(k)- 1)
k++;

5.3 斐波那契查找应用案例

请对一个有序数组进行斐波那契查找 {1, 8, 10, 89, 1000, 1234}，输入一个数看看该数组是否存在此数，并且求出下标，如果没有就提示”没有这个数”。

public class FibonacciSearch {
    public static int maxSize = 20;
    public static void main(String[] args) {
        int [] arr = {1,8, 10, 89, 1000, 1234};
        System.out.println("index=" + fibSearch(arr, 89));// 0
    }
    //因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
    //非递归方法得到一个斐波那契数列
    public static int[] fib() {
        int[] f = new int[maxSize];
        f[0] = 1;
        f[1] = 1;
        for (int i = 2; i < maxSize; i++) {
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }
        return f;
    }
    /**    编写斐波那契查找算法
     *       使用非递归的方式编写算法
     * @param a      数组
     * @param key     我们需要查找的关键码(值)
     * @return         返回对应的下标，如果没有-1
     */
    public static int fibSearch(int[] a, int key) {
        int low = 0;
        int high = a.length - 1;
        int k = 0;             // 表示斐波那契分割数值的下标
        int mid = 0;         // 存放mid值
        int f[] = fib();     // 获取到斐波那契数列
        //    获取到斐波那契分割数值的下标
        while(high > f[k] - 1) {
            k++;
        }
        // 因为 f[k] 值可能大于a的长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
        // 不足的部分会使用0填充
        int[] temp = Arrays.copyOf(a, f[k]);
        // 实际上需求使用a数组最后的数填充 temp
        // 举例：temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0}  => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
        for(int i = high + 1; i < temp.length; i++) {
            temp[i] = a[high];
        }
        // 使用while来循环处理，找到我们的数 key
        while (low <= high) {         // 只要这个条件满足，就可以找
            mid = low + f[k - 1] - 1;
            if(key < temp[mid]) {   // 我们应该继续向数组的前面查找(左边)
                high = mid - 1;
                //为甚是 k--
                //说明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //因为前面有 f[k-1]个元素,所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-2] + f[k-3]
                //即在 f[k-1] 的前面继续查找 k--
                //即下次循环 mid = f[k-1-1]-1
                k--;
            } else if ( key > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
                low = mid + 1;
                //为什么是k -=2
                //说明
                //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                //2. f[k] = f[k-1] + f[k-2]
                //3. 因为后面我们有f[k-2] 所以可以继续拆分 f[k-1] = f[k-3] + f[k-4]
                //4. 即在f[k-2] 的前面进行查找 k -=2
                //5. 即下次循环 mid = f[k - 1 - 2] - 1
                k -= 2;
            } else { //找到
                // 需要确定，返回的是哪个下标
                if(mid <= high) {
                    return mid;
                } else {
                    return high;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

排序算法和查找算法

一、排序算法

1、排序算法的介绍

2、排序算法的分类

二、算法的复杂度分析

1、算法的时间复杂度

1.1 度量程序（算法）执行时间的两种方法

1.2 时间频度

2.1 基本介绍

2.2 举例说明 - 基本案例

2.3 举例说明 - 忽略常数项

2.4 举例说明 - 忽略低次项

2.5 举例说明 - 忽略系数

1.3 时间复杂度

1.4 常见的时间复杂度

1.5 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

2、算法的空间复杂度

三、冒泡排序

1、基本介绍

2、演示冒泡过程的图解

3、冒泡排序应用实例

四、选择排序

1、基本介绍

2、选择排序思想

3、选择排序思路分析图

4、选择排序应用实例

五、插入排序

1、插入排序介绍

2、插入排序思想

3、插入排序思路图

4、插入排序应用实例

六、希尔排序

1、简单插入排序存在的问题

2、希尔排序法介绍

3、希尔排序法基本思想

4、希尔排序法的示意图

5、希尔排序法应用实例

5.1 交换法

5.2 移位法

七、快速排序

1、快速排序介绍

2、快速排序法示意图

3、快速排序法应用实例

八、归并排序

1、归并排序介绍

2、归并排序思想示意图

2.1 基本思想

2.2 合并相邻有序子序列

3、归并排序的应用实例

九、基数排序（桶排序）

1、基数排序介绍

2、基数排序基本思想

3、基数排序图文说明

4、基数排序代码实现

5、基数排序的说明

十、常用排序算法总结和对比

1、排序算法的比较图

2、相关术语解释

第二章 查找算法

1、查找算法介绍

2、线性查找算法

3、二分查找算法

3.1 二分查找

3.2 二分查找的思路

3.3 二分查找的代码

4、插值查找算法

4.1 插值查找原理介绍

4.2 插值查找应用案例

4.3 插值查找注意事项

5、斐波那契（黄金分割法）查找算法

5.1 斐波那契查找基本介绍

5.2 斐波那契原理

5.3 斐波那契查找应用案例

第二章查找算法