张量的代数运算

张量的相等

若两个张量T,S在同一个坐标系中的逆变(或协变，或某一混变)分量一一相等，则此两个张量的其它一切分量均一一相等，且在任意坐标系中的一切分量均一一相等。

张量的相加

若将两个张量T,S在某一坐标系中的逆变(或协变，或任一种混变)分量一一相加

标量与张量相乘

若将张量在某一坐标系中的逆变(或协变，或任一种混变)分量乘以标量k(k可以因点而异，但不随坐标变化而变化）则得到一组数，也是张量的逆变(或协变，或任一种混变)分量，且对于任意坐标系中任意其它分量此等式均成立。
若把(1.7.6)式中张量S乘以k=-1,则为张量相减。

张量与张量并乘

分量表示
实体表示

张量的缩并

张量缩并时将其基张量中的任意两个基矢量（一般选一个协变基和一个逆变基）进行点积。例如，若将四阶张量中的第2、第4基矢量进行点积.

一次缩并张量降低两阶

张量的点积

定义

两个张量T与S先并乘后缩并的运算称为点积（或称内积）。和缩并一样，对于点积运算应说明将张量T中的哪一个基矢量与张量S中的哪一个基矢量相点积。为了方便起见，一般取一个逆变基矢量和一个协变基矢量相点积。可以证明，两个张量点积后得到一个新的张量U,如果T是m阶张量，S是n阶张量，则U的阶数为(m+n-2).
以四阶张量T与三阶张量S的点积为例

双点积 重要

就是并乘后两次缩并，需要选择是按照什么顺序缩并，有并联式和串联式两种。

• 并联式 就是把双点积运算符两边的张量上下并列写出来，然后对应分量缩并掉，即按(前・前)(后・后)的形式进行两两缩并。
• 串联式 就是两次缩并双点积运算符两边紧挨着的分量，即按(内・内)(外・外)的形式进行两两缩并。个二阶并矢的双点积为一个数。
  :::info

  以上两种双点积的结果并不是同一个张量。

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  转置张量

  如果保持基矢量的排列顺序不变，而调换张量分量的指标顺序则一般说来将得到个同阶的**新张量，称为原张量的转置张量。对高阶张量来说，对不同指标的转置结果是不同的，所以应指明是对哪两个指标的转置张量**。

  张量的对称化与反对称化

  对称与反对称

  如果关于某两个分量转置后等于原张量，那么称为对称张量，如果转置后等于负的原张量，那么称为反对称化

  对称化与反对称化 重要

1. 对称化运算：将任一张量T的分量指标中某两个指标序互换，得到张量S,并按下式构成新张量
   1. 
2. 反对称化运算：如按下式由张量T和S构成新张量
   1. 

      张量的商法则 重要

      设有一组数的集合，如果它满足对于任意一个q阶张量S(例如q=2任意阶张量分量)的内积均为一个p阶张量(例如p=3,三阶张量U),即在任意坐标系内以下等式均成立：，其中 l,m为涯指标（就是累加的指标），则这组数的集合必定是一个 p+q 阶的张量。这一规律叫做商法则。

:::info 也就是说 符合张量的坐标变换规则 :::