拉普拉斯方程和调和函数

拉普拉斯方程

调和函数，称满足拉普拉斯方程的函数为调和函数

电学的应用

给出复变函数

根据C-R条件
（1.23)
两式分别对求偏导，再相加，得到一组方程
以及
可知复变函数的分量函数都是调和函数。
将公式1.23上式与下式相乘，再相加，得到

也就是说

梯度正交也就意味着的等值线正交。 :::info 可见，在平面上，的等值线处处正交，而平面静电场的等势线族和电场线族也处处正交，那么可以给复变函数赋予物理意义。的等值线就是等势线，的等值线就是电场线。解析函数也就称为静电场的复势 ::: :::tips 更为一般化的表达
平面静电场有以下四个特点：

• ,所以存在势使得 （根据张量运算，可知梯度的散度为0，也就可以如此假设）
• 
• 
• 

满足上面的条件的物理量都可以用复势来表达。无热源区域的稳定温度场也可以用复势来表示。 :::

保角变换将一区域内复势转化为另一区域内复势重要难点

:::info 问：设是平面区域 内的电场复势，为一保角变换，将区域 变换到区域请问，在区域内具有什么样的性质？
本小节推导需要的数学知识：

• C-R条件
• 复变函数求导公式
• 复合函数的链式求导法则 ::: 先写出两个复变函数
  
  
  复变函数求导法则（根据C-R条件可得）
  
  写出雅可比(Jacobi)矩阵，并且根据保角变换的条件,可知
  
  雅可比行列式不等于0，即证明存在逆变换
  
  根据电学，如果区域内有电荷密度分布，电势应满足泊松方程，其中为介电常数。
  
  将区域内的场做保角变换，此时场，也就是说场变成了 的函数。
  下面根据复合函数求到的链式规则
  
  因为是解析函数，所以可知
  
  根据公式1.41，公式1.45继续计算得到
  
  对比泊松方程，可以得到
  
  也就是说，区域 的电荷密度为 :::info 综上所述，经过保角变换后，平面 上一静电场变换为区域上的另一静电场，如果z平面上的电荷密度变为，那么平面上的电荷密度为 :::

:::danger

自己的思考

函数是一个最基本的抽象概念，在数学本领域或者物理领域内可以有好多应用，比如本节要讨论的，一个是复势，也就是解析函数，一个是保角变换，这两个都是复变函数，但是具有不同的物理意义。 :::