根据柯西公式，解析函数在区域内的值完全由境界线决定，那么讨论两种特殊的区域下的实部与虚部的关系。
需要的数学理论：

• 柯西公式
• 极限及一些不等式关系

  半平面区域

  
  有一个的极限过程。
  
  由上式可见，对于上半平面的解析函数,由实轴上的实部（或虚部）的值就可确定在上半平面内任意点之值。

  圆形区域

  
  
  也就是说，给出圆周上的函数值，就可以完全确定圆内部的函数值。上式称为泊松公式。