内容引自知乎度量张量是什么

直角坐标 三维欧式空间

通俗地说，在一个坐标系中，度规张量是用来描迷一段很短很短的线段长度和线段两个端点坐标之差的关系的个2阶张量。换句话说，度规张量定义了个坐标系中如何度量曲线的长度。
众所周知知，如果我们有个配有笛卡尔坐标的三维欧式空间，空间中有两个离得很近很近的点，坐标分別为与，那么两点之间连一段直线，它的长度满足
这是人人都知知道的勾股定理。如果连接两点的不是直线而是一般的光滑曲线，只要两个点足够近曲线的长度都可以用直线段的长来近似，误差为的高阶无穷小，因为积分为0,通常是可以忽略的。

球坐标 三维欧式空间

同样是三维欧式空间，但现在我们换成球坐标，这里定义为点到坐标原点的距离，是点的“纬度”，是点的“经度”，这时两个点的坐标写成和这时两点之间的距离不再直接满足（1)式。根据简单的高中学过的空间几何，同样根据勾股定理，或者进行变量代换。可以得到：

一般坐标系（上述规律的总结归纳）

现在我们来观察（1)和（2),们有个共同的持点：小线段距离的平方是各坐标之差的二次型，即是关于dx,dy,dz这三个变量的二次的多项式。我们推广一下，写成一般形式，对于n维式或者非欧式空间的任意坐标系统,一个无穷小的线段的长度可以人为地定义为（为了通俗，我这里没有区分共变和逆变）:

其中二阶张量称为度规张量

上述的空间下的度规张量

三维欧式空间 笛卡尔坐标

三维欧式空间 球坐标

由三维欧式空间向一般空间的扩展

这两个例子都是容易想象的例子。一个不容易想象的例子是非欧式空间的度规。非欧式空间是不满足勾股定律的，所以会看到个奇怪的度规。比如，广义相对论认为具有能量动量的物体会改变空间的度规，让它变得不是欧式空间。那么一个不旋转的球形天体（比如太阳）周围的度规长什么样呢？这就是著名的史瓦西（ Schwarzschild）度规（写在“球坐标”中）

其中 c 表示光速，G 表示引力常量，M 表示天体的质量，t 表示时间。 注意：相对论是使用四维空间来同时描述空间与时间的，所以这里的距离指的是两个事件的时空距离

自己的思考

1. 一定要结合考虑数学概念以及在相应的物理问题中的物理概念
2. 应该知道有些数学概念及物理概念是超过自己的认知范围的，比如度规张量和协变逆变的概念，都是在非欧空间，以及斜角坐标、曲线坐标中才真正体现出作用和必要性