卡特兰数

0
f1=1
f2=2
f3=5
f4=14
f5 = f0f4 + f1f3 + f2f2 + f3f1 + f4*f0 = 14 + 5 + 4 + 5 + 14 = 42

卡特兰数

一、递推
我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：
f(1) = 1 //即 1
f(2) = 2 //即 12、21
f(3) = 5 //即 123、132、213、321、231
然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d,
入栈顺序未知
出栈顺序未知，设置位置
那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析：i是i号位置，f(i-1)f(n-i)
1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，
就是子问题f(3)；
如：0123、0132、0213、0321、0231
2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)，
根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) f(2)；
3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，
根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) f(1)；
4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即
f(3)；
结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) f(1) + f(1) f(2) + f(3);
为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：
f(4) = f(0)f(3) + f(1)f(2) + f(2) f(1) + f(3)f(0) = 14
然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：
f(n) = f(0)f(n-1) + f(1)f(n-2) + … + f(n-1)f(0)
即