1.矩阵的初等变换
引入
以上例子实际上是把线性方程组的系数，连带常数项（等号右边的数字）看做是一个矩阵（行话叫：增广矩阵），然后对这个增广矩阵做了一系列的变化，最后可以判断方程组的解的形态。
在解线性方程组时，由上面观察得到矩阵的基本变换，我们在下面进行统一定义：
定义
举个例子：
进而做出一些约定：
2.逆矩阵的另外一种求法
引入
上述的三种初始变换其实对应了三种初等矩阵，矩阵的本质就在于此：矩阵就是用来做变换的。
其中交换两行，对应的矩阵就是下面的矩阵：
以不为0的数k乘以某一行（列）中的所有元素，对应的初等矩阵为：
把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去，对应的初等矩阵为：
性质
性质１即：初等行变换，左边乘对应初等矩阵，初等列变换，右边乘对应初等矩阵
性质２证明：
先证必要条件，
所以
（三种初等矩阵的行列式分别为-1，k，1 ）。所以A可逆。
再证充分条件，由第一节最后的定理可得，A总能通过初等变换转换成标准型，这里记为B，所以有
，因为A可逆所以|A|不为0，所以等式右边的行列式也不为0，即标准型B的行列式不为0。
由标准型的定义可知B为单位矩阵E，所以
<br />证明：<br />由上面性质2可得，当A可逆，，即A可以通过l次初等行变换转换为E。同理反过来也符合。<br />并且除了行等价，列等价也符合该推论。
逆矩阵的另一种求法
之前讲的求逆矩阵需要通过伴随矩阵来计算，但当矩阵的阶数较大时，计算代数余子式的计算量较大。
所以可以使用以下方法：
证明
证明该方法为何可以算出A的逆矩阵：
要求A的逆矩阵，先把A和E摆在一起得到 (A E)，然后对这个增广矩阵做初等行变换，也就是要在左边乘上
，把的乘积结果记为P，则对(A E)做初等行变换可以看作计算 P(A E)。而结果我们要使增广矩阵左边的矩阵A变为单位阵E，即(A E)变为(E Q)，用数学公式表示就是：P(A E) = (E Q) 。该式可以看作PA=E，PE=Q。所以得到：
， 也就是
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